Page 33 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

1 1 2n+1 1
3 1 2 2 2
1+ - 1+ 元素为x= , 所以集合 B 中的元素为 的奇数倍,
= ∈A , =3∈A , 所以当 3∈A 时,
1 2 1
3 2
1- - 1- 所以B⊆A , 且B≠A , 即B⫋A.

方法总结
集合间关系的判断方法:
1 1
A 中的元素是3 , -2 , - , . ( 1 )定义法: 根据定义直接判断元素与集合间的关系, 得
3 2
( 3 )猜想: A 中没有元素-1 , 0 , 1 ; A 中有4个元素, 其中 出集合间的关系;

( 2 )图示法: 利用数轴或 Venn图表示出相应的集合, 根

2个元素互为负倒数, 另外2个元素也互为负倒数.
据图示直观地判断.
由( 2 ) 知0 , 1∉A , 若-1∈A , 则 1+ ( -1 ) =0∈A , 与0∉
1- ( -1 ) 6.B 因为 A 中的任意元素都在A 中, 根据子集的定义
A 矛盾, 则-1∉A , 即-1 , 0 , 1都不在集合 A 中. 知①正确; 因为 A⊆B , 所以 A 中的任意元素都在B 中,
因为B⊆C , 所以B 中的任意元素都在 C 中, 从而A 中的
若实 数 a 1 ∈ A , 则 1+a 1 =a 2 ∈ A , a 3 = 1+a 2 =
1-a 1 1-a 2 任意元素都在C 中, 所以 A⊆C , ②正确; 因为 A⊆B , 所
1+a 1 1 以 A 中的任意元素都在B 中, 因为 B⊆A , 所以 B 中的

1+ 1+ -
1
1-a 1 1+a 3 a 1
= - ∈ A , a 4 = = = 任意元素都在A 中, 从而 A 和B 中的元素相同, 即 A=
1
1+a 1 a 1 1-a 3

1- 1- - B , ③正确.
1-a 1 a 1

7.ABC 若B 为空集, 则方程ax=1 无解, 解得a=0 ;
a 1-1
1+
a 1-1 1 1+a 4 a 1+1 1
=- ∈A , a 5= = =a 1∈A. 结合 若B 不为空集, 则 a≠0 , 由 ax=1 解得 x= , 所以
a 1+1 a 2 1-a 4 a 1-1 a
1-
a 1+1
1 =-1或 1 1
, ,a a =2 , 解得a=-1或a= 2 .
集合中元素的互异性知, A 中最多只有4个元素a 1 a 2
, 否则a 1= 2a-3=1 ,
8.AC 选项 A , 由相等集合的概念可得 解得
a 3 a 4
, 且a 1 a 3=-1 , a 2 a 4=-1. 显然a 1 ≠ a 2
1+a 1 a-2=2 ,
2 , 即 A 中有
a=2且a=4 , 得此方程组无解, 故不存在实数a 使得集
, 即a 1=-1 , 无实数解. 同理, a 1 ≠a 4
1-a 1
4个元素. 合 A = B ,因 此 A 正 确;选 项 B ,由 A ⊆ B ,得
所以 A 中没有元素-1 , 0 , 1 ; A 中有4个元素, 其中2个 2a-3≤1 , a≤2 ,
即 此不等式组无解, 因此 B错误; 选项
a-2≥2 ,
元素互为负倒数, 另外2个元素也互为负倒数. a≥4 ,

根据特殊来归纳对象所具有的一般性质是
方法总结 C , 当a=4时, 得B= { x|5<x<2 } 为空集, 满足 B⊆A ,
研究问题的一种基本方法, 若对于一个问题一开始找不 因此 C正确; 选项 D , 当 2a-3≥a-2 , 即a≥1 时, B=
到一般的研究方法, 我们可以先从特殊入手, 由特殊来发 ⌀⊆A , 符合 B⊆A , 当 a<1 时, 要使 B⊆A , 需满足
现一般规律, 然后再证明此规律的一般性. 2a-3≥1 ,
解得2≤a≤4 , 不满足a<1 , 故这样的实数a
a-2≤2 ,
限时小练2 集合间的基本关系( 1 )
不存在, 则当0≤a≤2时, B⊆A 不正确, 因此 D 错误.
1.C 因为{ 1 , 2 } ⊆M⊆ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, 所以集合 M 中一 3

9.4或 由 A⊆B , 且 A⊇B 可得A=B. 由于 A , B 中
定包含元素1和2 , 集合 M 中其他元素构成的集合为集 4
2x= y 2 , 2x= y , x=2 ,
3
合{ 3 , 4 , 5 } 的子集, 所以集合 M 的个数为2 =8. 都 有 元 素 1 , 故 或 解 得 或
x= y
y=2
x= y 2 ,
2.B 因为x∈P , 所以Q= { 2 , 3 , 4 , 5 }, 故 M⫋Q.

1
3.B 正方形都是菱形, 菱形都是平行四边形, 平行四边 x= ,
4 x=0 , x=0 ,

1
形都是四边形. 或 结合元素的互异性, 这组解要
y=0 ,
y=0
y=

4.D 因为 M⊆P , M= { -a , a }, 所以a∈P , -a∈P 且 2

a≠-a , 即 -1≤a≤1 , -1≤-a≤1 , a≠0 , 解得 -1≤ 3
舍去, 故x+ y=4或 .
4
a≤1且a≠ 0 , 所以实数a 的取值范围为{ a|-1≤a≤1

10.B⊆A 集合 A 表示直线 y=2x 上所有的点组成的
且a≠ 0 } .
y=2x , x≠0 , 表示直线 y=2x 上除了
集合, 集合B 中,

易错警示
注意集合 M 中元素的互异性, 即满足a≠
原点之外的所有点组成的集合, 所以B⊆A.
-a.

},
11.4 集合{ a 1 a 2 a 3 },{ a 2
, , } 的所有非空真子集为{ a 1
1
5.A 集合 A 中的元素为 的整数倍, 因为集合 B 中的

, }, 由题意可得 3 ( a 1 +
2 { a 3 },{ a 1 a 2 , },{ a 2 a 3
, },{ a 1 a 3
— 2 —
1