Page 31 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

a c a±b c±d

( 2 )若 = , 则 = ( 合比性质);
b d b d
a c a+c b+d

( 3 )若 = ( b-d≠ 0 ), 则 = ( 合分比性质);
b d a-c b-d
a c m a+c+ … +m a
( 4 )若 = = … = , 且b+d+ … +n≠ 0 , 则 = ( 等比性质) .

b d n b+d+ … +n b
2. 解分式方程的步骤

①把各分式的分母因式分解; ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母; ③去括号, 把所有项都移到左边, 合

并同类项; ④解一元整式方程; ⑤验根.

3. 分式不等式解法的基本思路
(
f x )
将分式不等式转化为整式不等式, 即 f x ) >0⇔ f x ) ( x ) >0 , ( <0⇔ f x ) ( x ) <0.
g
g
(
(
(
(
g x ) g x )
4. 一元高次不等式的解法

次数大于2的整式不等式, 称为高次不等式, 高次不等式通过分解因式处理后, 可化为如下形式( 设a>0 ):
)( ) )( )…( x-x n <0 ②.
)
a ( x-x 1 x-x 2 )…( x-x n >0 ① , a ( x-x 1 x-x 2
, ,…, x n. 这一系列点将数轴
不妨设x 1<x 2< … <x n , 在数轴上标出x 1 x 2
, ),( x n +∞ ) . 然后画波浪
, ),…,( x n-1 x n
分为n+1个区间:( -∞ , x 1 ),( x 1 x 2 ,
对应的点. 不等式①的解集为取数轴上方区间的
, ,…, x n
线, 具体方法是从数轴右上方开始, 波浪线依次穿过x 1 x 2
并集. 不等式②的解集为取数轴下方区间的并集.
经典示例
1 4x 2
例1 解方程: - =1.
+ 2
x+2 x -4 x-2
解: 原方程可化为 1 + 4x - 2 =1 , 方程两边各项都乘 去分母转化为整式方程求解.
x+2 ( x+2 )( x-2 ) x-2
2 2 2 2
以x -4得( x-2 ) +4x-2 ( x+2 ) =x -4 , 即3x-6=x -4 , 整理得x -
2
2
3x+2=0 , 解得x=1或x=2. 检验: 把x=1代入x -4 , 不等于0 , 所以x=1是原方程的解; 把x=2代入x -4 ,
等于0 , 所以x=2是增根. 所以原方程的解是x=1.
x+ y-z x- y+z -x+ y+z
例2 已 知 = = , 且 x y z ≠ 0 , 求
z y x
已知条件以连比的形式出现, 可
( x+ y y+z )( z+x ) 引进一个参数来表示这个连比, 从而
)(
的值.
x y z 将分式化成整式.
x+ y-z=kz
① ,
x+ y-z x- y+z -x+ y+z

解: 令 = = =k , 则 x- y+z=k y ② ,

z y x
-x+ y+z=kx ③.

x+ y-z x- y+z -x+ y+z
由①+②+③ , 得x+ y+z=k ( x+ y+z ) . 当x+ y+z≠ 0时, k=1 , 即 = = =1 ,
z y x
2z · 2x · 2 y
y+z=-x , z+x
,
则x+ y=2z , x+z=2 y y+z=2x , 故原式= =8. 当x+ y+z=0时, x+ y=-z ,
x y z
-x y z
,
=- y 故原式= =-1. 综上, 原式的值为8或-1.
x y z
例3 ( 1 )解不等式 2x-1 ≥1.

x+3
( 1 )将不等式右边的1移至左边,
解: 由 2x-1 ≥1 , 得 2x-1 -1≥0 , 即 x-4 ≥0 , 以 上 不 等 式 等 价 于 再通分, 转化为例1的形式求解.

x+3 x+3 x+3 ( 2 )可以列表法或穿根法求解.
( x-4 )( x+3 ) ≥0 ,
故原分式不等式的解集为x<-3或x≥4.
x+3 ≠ 0 ,

( 2 )解不等式( x-1 )( x+2 )( x-3 ) >0.
解法1 ( 列表法) ①检查各因式中x 的符号均正; ②求得相应方程的根为: -2 , 1 , 3 ; ③列表如下:
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