Page 34 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

)
a 2+a 3 =12 , 解得a 1+a 2+a 3=4. { -2 , 1 },{ -2 , 3 },{ 1 , 3 },{ -2 , 1 , 3 }, 共有 8 个, ∁ U P⊆
12. { a 2 a 3 若a 1∈A , 由( 1 ) 可知a 2∈A , 又 A 中只有 S , 所以∁ U P 有8个, 因为 ∁ U ∁ U P ) =P , 所以存在一个
(
, }
两个元素, 所以a 3∉A , 此时与( 2 ) 矛盾, 所以a 1∉A ; 若 ∁ U P 即有一个相应的P , 所以P= { -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,
a 2∈A , 由( 2 ) 可知a 3∈A , 此时a 4∉A , 满足 A 中只有两 3 },{ -3 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 },{ -3 , -2 , -1 , 0 , 2 , 3 },
, }; 若a 4∈A , 由( 3 ) 可知a 3∉A , { -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 },{ -3 , -1 , 0 , 2 , 3 },{ -3 , -1 , 0 ,
个元素, 所以 A= { a 2 a 3
则a 2∉A , 且a 1∉A , 此时与 A 中只有两个元素矛盾. 综 1 , 2 },{ -3 , -2 , -1 , 0 , 2 },{ -3 , -1 , 0 , 2 }, 共8个.

上可知 A= { a 2 a 3 . 6.B ∁ U A= { -1 , -3 , 1 , 3 }, 所以U= { -3 , -1 , 0 , 1 , 2 ,
, }
13. 规范解答 解:( 1 )因为集合 B 有且仅有两个子集, 3 , 4 , 6 } . 所以B= { -3 , 1 , 3 , 4 , 6 }, 所以 B 的子集的个数

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2 为2 =32.
所以 集 合 B 只 有 一 个 元 素, 所 以 Δ =4 ( a+1 ) -

7.AD 因为全集U= { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }, ∁ U A= { 5 , 7 }, 所以
2
4 ( a -1 ) =8a+8=0 , 所以a=-1 ,
所以实数a 的取值范围是{ -1 } . A= { 1 , 3 , 9 }, 所以 |a-5|=3 , 解得a=2或8.

2
( 2 ) 由x +4x=0 , 解得x=0或x=-4 , 所以A= { -4 , 8.ABC ①若B 不为空集, 则 m+1≤2m-1 , 解得 m≥
0 } . 因为 B ⊆A , 所 以 集 合 B 可 能 是 ⌀ ,{ 0 },{ -4 }, 2. 则∁ U B= { x|x<m+1或x>2m-1 }, 所以 m+1>7
{ 0 , -4 } . 或2m-1<-2 , 解得 m>6或 m<- 1 , 又因为 m≥2 ,
2
当B=⌀时, 此时方程x +2 ( a+1 ) x+a -1=0无实数
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2
所以 m >6.② 若 B 为空集, 则 m +1>2m -1 , 解 得
2
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根, 则Δ=4 ( a+1 ) -4 ( a -1 ) <0 , 解得a<-1 ;
m<2 , 则∁ U B=R , 符合题意.
当B= { 0 } 时, 此时方程x +2 ( a+1 ) x+a -1=0有且
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2
9.6 解法1 由题意知U= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }, A= { 1 , 3 }, 所
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Δ=4 ( a+1 ) -4 ( a -1 ) =0 ,
仅有一个根为 0 , 则 解得 以∁ U A= { 0 , 2 , 4 }, 元素之和为6.
2
a -1=0 ,
解法2 集合U , A 可用 Venn图表示. 所以∁ U A= { 0 , 2 ,
a=-1 ;
4 }, 元素之和为6.
当B= { -4 } 时, 此时方程x +2 ( a+1 ) x+a -1=0有
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2
2
2
Δ=4 ( a+1 ) -4 ( a -1 ) =0 ,
且只有一个根为 -4 , 则
( -4 ) -8 ( a+1 ) +a -1=0 ,
2
2
此时方程组无解;
当B= { -4 , 0 } 时, 此时方程x +2 ( a+1 ) x+a -1=0有两
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2

方法总结
补集的求法:( 1 )对于用列举法给出的较简

Δ=4 ( a+1 ) -4 ( a -1 ) >0 ,
2 2 单的集合, 可以直接根据补集的定义求解; 若给出的集合

2
个根, 分别为0 , -4 , 则 a -1=0 , 解得 较复杂, 可以借助 Venn图分析求解. ( 2 )对于用不等式

-2 ( a+1 ) =-4 ,

给出的无限集, 可以借助数轴直观表达, 然后求补集.
a=1. ( 3 )对于特殊的集合, 如偶数集等, 可以根据集合的意义

综上所述, 实数a 的取值范围为{ a|a≤-1或a=1 } .
求补集.

限时小练3 集合间的基本关系( 2 ) 10. { 1 , 4 } 或{ 1 , 3 , 4 } 或{ 2 } 或{ 2 , 3 } 因为集合U= { 1 , 2 ,

3 , 4 }, 由( 1 ) A⊆U ;( 2 )若x∈A , 则2x∉A ;( 3 )若x∈

1.A 集合 A , B 在数轴上表示如图. 易知∁ A B= { x|2<
∁ U A , 则2x∉∁ U A , 当1∈A 时, 则有2∉A , 即2∈∁ U A ,
x≤5 } .
则4∉∁ U A , 即4∈A , 但元素3与集合 A 的关系不确定,
故A= { 1 , 4 } 或 A= { 1 , 3 , 4 }; 当2∈A 时, 有4∉A , 1∉A ,
但元素3与集合A 的关系不确定, 故A= { 2 } 或A= { 2 , 3 } .

2.D 因为 ∁ R P= { x|x≥1 }, ∁ R Q= { x|x≤0 }, 所以 综上所述, 集合A= { 1 , 4 } 或{ 1 , 3 , 4 } 或{ 2 } 或{ 2 , 3 } .
∁ R P⊆Q , ∁ R Q⊆P. 1

∪ [ 1 , +∞ ) ∁ U B=
11. { x|-1<x<3 } -∞ , -
2
3.B 由 补 集 知 ∁ U A = { x|-m ≤x≤1 } 且 ∁ U A =
{ x|-1<x<3 } . 若 A=⌀ , 则3m-1≥2m , 即 m≥1 , 此
{ x|-1≤x≤-n }, 对比得 m=1 , n=-1.

4.D 因为∁ U A= { x|x=3k+1或x=3k+2 , k∈Z }, 所 时∁ U A=R , 满足题意; 若 A ≠⌀ , 则 m<1 , 此时 ∁ U A=
1
(
以 A , B不正确, D 正确; 又∁ U ∁ U A ) =A , 故 C不正确. { x|x≥2m 或x≤3m-1 } .① 当2m≤-1时, m≤- ,
2

5.D U= { x||x|<4且x∈Z } = { -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 ,
4
满足 m<1 ; ②当3m-1≥3时, m≥ , 与 m<1矛盾, 舍
3 }, 因为 S= { -2 , 1 , 3 } 的子集有 ⌀ ,{ -2 },{ 1 },{ 3 }, 3
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