Page 29 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

第 4 练 根式、 根式有理化

与高中知识的联系

一般地, 形如 a ( a≥0 ) 的代数式叫作二次根式. 二次根式的性质如下:
a , a≥0 ,

2
2
( 1 )( a ) =a ( a≥0 ); ( 2 ) a =|a|=
-a , a<0 ;
b b

( 3 ) ab= a · b ( a≥0 , b≥0 ); ( 4 ) = ( a>0 , b≥0 ) .
a a
二次根式是在学习了平方根、 立方根等内容的基础上进行的, 是对实数、 整式等内容的延伸和补充, 教材第3章
3.2节, 第4章4.1节, 第5章5.1节, 第6章6.2节及第7章7.2节等, 主书第10~12练、 第16练、 第20~22练、 第
34练、 第35练等都需要对根式的运算非常熟练、 灵活. 因此本专题将对根式、 根式有理化进行补充和拓展.
知识要点

1. 分母( 子) 有理化: 把分母( 子) 中的根号化去, 叫作分母( 子) 有理化.

2. 两个含有二次根式的代数式相乘, 如果它们的积不含二次根式, 就说这两个代数式互为有理化因式. 单项二
次根式的有理化因式是它本身或本身的相反数, 其他代数式的有理化因式常借助平方差公式来进行确定.
常见的互为有理化因式有:

( 1 ) a与 a ( a≥0 );( 2 ) a+ b与 a- b ( b≥0 );( 3 ) a+ b与 a- b ( a≥0 , b≥0 ) .
经典示例

例1 有理化下列各式的分子:

x+1+ x ( 1 ) x+1+ x 有理化因式为

( 1 ) ;
x+1- x x+1- x ;
2 ( 2 ) 可先化简约分.
a-1+ a -1
( 2 ) ( a>1 ) .
2
a+1+ a -1
( x+1+ x )( x+1- x )
x+1-x 1
解:( 1 )原式= = = .
2
2
2
( x+1- x ) ( x+1- x ) ( x+1- x )
2 2
a-1+ a -1 ( a-1 ) + ( a+1 )( a-1 ) a-1 ( a-1+ a+1 ) a-1
( 2 ) = = = .
2 2 ( a+1 )( a-1 ) 2
a+1+ a -1 ( a+1 ) + a+1 ( a+1+ a-1 ) a -1

例2 化简:( 1 ) 6-25 ;( 2 ) 7+43 ;( 3 ) 2- 3.
遇到类似 x±2 y 的式子, 设法
2 2
解:( 1 )原式= 5+1-25= ( 5 ) -25+1= ( 5 -1 ) =|5-
将根号里的式子写成完全平方形式,
1|= 5-1.
利用二次根式性质进行化简. 方法是:

2
y=ab ,
( 2 )原式= 7+2 12= 4+3+2 4×3= ( 4+ 3 ) =|4+ 3| 找两个正数a , b , 使x=a+b ,
=2+ 3. 则 x±2 y = a+b±2 ab =
2 2 2
4-23 ( 3-1 ) ×2 6- 2 ( a ) ±2 ab+ ( b ) =
( 3 )原式= = = .
2 2 2 2
( a± b ) =|a± b|.
2
2
2
例3 已知a , b 都是非负数, 且 1-a · 1-b =ab , 求证: a 1-b 2
+b 1-a =1.
2
证明: 将 1-a · 1-b =ab 两边平方, 得( 1-a )( 1-b ) =ab , 即 当已知式或求证式中含有二次根式
2 2
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2 2
2
2 2
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2 2
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1-a -b +ab =ab , 得a +b =1. ( a 1-b +b 1-a ) =a ( 1-b ) 时, 可以考虑把两边平方化为整式再证
明. 但A =B , 未必有A=B , 因此在证
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2
+b ( 1-a ) +2ab 1-b · 1-a =a +b -2ab +2ab =1. 因为a , b
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2 2
2 2
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明过程中必需确定A , B 是否同号.
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都是非负数, 所以a 1-b +b 1-a ≥0. 因此a 1-b +b 1-a =1.
2
2

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