Page 24 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

初高中衔接

第 1 练 乘 法 公 式

与高中知识的联系
在初中我们学习了多项式的乘法运算, 其中主要学习的两个基本乘法公式是:

( 1 )平方差公式:( a+b )( a-b ) =a -b ( 2 )完全平方公式:( a±b ) =a ±2ab+b 2
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常见变形: a +b = ( a+b ) -2ab , a +b = ( a-b ) +2ab
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进入高中之后, 我们将面临更多更复杂的运算, 教材第2章2.2节, 第3章3.1节及第4章4.1节, 主书第7练、
第8练、 第10练、 第16练会用到更多的乘法公式, 因此本节我们将拓展乘法公式的内容, 补充高中常用的乘法公
式, 如两数和( 差) 立方公式、 立方和( 差) 公式及三数和平方公式等.
知识要点

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( 1 )两数和立方公式 ( a+b ) =a +3ab+3ab +b 3
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常见变形:( a+b ) =a +b +3ab ( a+b ), a +b = ( a+b ) -3ab ( a+b )
( 2 )两数差立方公式 ( a-b ) =a -3ab+3ab -b 3

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( 3 )立方和公式 ( a+b )( a -ab+b ) =a +b 3
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( 4 )立方差公式 ( a-b )( a +ab+b ) =a -b 3

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( 5 )三数和平方公式 ( a+b+c ) =a +b +c +2 ( ab+bc+ac )

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经典示例
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例1 已知x+ y=1 , 求x + y +3x y 的值.
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)
解: 因为x+ y=1 , 所以( x+ y =x +3xy+3x y + y =1 , 即 x + ) 3 2
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利用公式( x+ y =x +3xy+
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3x y x+ y + y =1 , 所以x +3x y+ y =1. 3x y + y 求解.
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(
)
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1 1
2 2 3
;()
例2 已知x +3x-1=0 , 求:( 1 ) x + 2 2 x - 3 .
x x
1
2 2
解: 因为x +3x-1=0 , 所以x≠ 0 , 所以x -1=-3x , 所以x- =-3.
x
因为求值式的结构特点是两项之
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1 1
x 积为定值, 故考虑对条件式进行变形,
2 2
( 1 ) x + +2= ( -3 ) +2=11.
2 = x-
x
1 1 1 再用“ 整体代换” 的方法计算.
x x
3 2
( 2 ) x - x +1+ 2 =-3× ( 11+1 ) =-36.
3 = x-
x
2
2
例3 当a+b+c=0 , a +b +c =1时, 求下列各式的值.
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( 1 ) bc+ca+ab ;

4
( 2 ) a +b +c .
4
4

( 1 )将所求式子与已知联系, 发现
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解:( 1 )因为( a+b+c ) =a +b +c +2 ( ab+bc+ca ),
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可将bc+ca+ab 用a+b+c 和a +
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且a+b+c=0 , a +b +c =1 ,
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b +c 表示.
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1
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所以0 =1+2 ( ab+bc+ca ), 即bc+ca+ab=- . 4 4 4 2 2
2 ( 2 )由于 a +b +c = ( a ) +
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( b ) + ( c ), 由( 1 ) 得到启示, 如果知
( 2 )因为( bc+ca+ab ) =bc +ca +ab +2 ( abc+abc+abc ) =
2 2
2 2
2 2
道ab +bc +ca 的值, 就能得解.
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4
bc +ca +ab +2abc ( a+b+c ), 所以bc +ca +ab = . 故a +b
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4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
+c = ( a +b +c ) -2 ( bc +ca +ab ) =1-2× = .
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练习巩固
题组1 完全平方公式

1. 不论a , b 为何实数, a +b -2a-4b+8的值 ( )
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A. 总是正数 B. 总是负数

C. 可以是零 D. 可以是正数也可以是负数

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