Page 26 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

3. 分组分解法:

( 1 )分组后能提取公因式;

( 2 )分组后能直接用公式法.

4. 其他方法:

( 1 )配方法;

( 2 )拆、 添项法.
一般地, 把一个多项式因式分解, 可以按照下列步骤进行:

( 1 )如果多项式各项有公因式, 那么先提取公因式;

( 2 )如果多项式各项没有公因式, 那么可以尝试运用公式来分解;

( 3 )如果用上述方法不能分解, 那么可以尝试用分组或其他方法( 如十字相乘法) 来分解;

( 4 )分解因式, 必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
3 3
经典示例 ( 1 )直接利用公式a +b = ( a+
2
2
b )( a -ab+b ) 分解;

例1 ( 公式法) 分解因式:( 1 ) 8+x ;( 2 ) 3ab-81b . ( 2 )先 提 取 公 因 式 3b , 再 利 用
3
3
4

3 3 2 2
3
2
解:( 1 ) 8+x =2 +x = ( 2+x )( 4-2x+x ) . a -b = ( a-b )( a +ab+b ) 分解.
3
3

3
4
3
3
( 2 ) 3ab-81b =3b ( a -27b ) =3b ( a-3b )( a +3ab+9b ) .
2
2
例2 将下列各式分解因式.

( 1 )因为2=1×2 , -3= ( -1 ) ×

2
( 1 ) 2x +x-3 ;
3 , 且一次项系数是1 , 所以可按下图用

2
2
2
( 2 )( x -x ) - ( x -x ) -2 ; 十字相乘法分解因式.

2
2
( 3 ) x -2x y-8 y -x-14 y-6.

2
解:( 1 ) 2x +x-3= ( x-1 )( 2x+3 ) .

2
( 2 )先将 x -x 视为一个整体,
2
2
2
2
2
( 2 )( x -x ) - ( x -x ) -2= [( x -x ) -2 ][( x -x ) +1 ] = ( x+1 )( x
通过两次十字相乘得到解决.
2
-2 )( x -x+1 ) . ( 3 )先将 x -2x y-8 y 用十字

2
2

)(
)
)
2 2
( 3 ) x -2x y-8 y -x-14 y-6= ( x+2 y x-4 y + ( -x-14 y -6 相乘法分解, 并视为一个整体, 再次用
十字相乘法解决.
= ( x+2 y+2 )( x-4 y-3 ) .
例3 ( 分组分解法)

( 1 )把2ax-10a y+5b y-bx 分解因式. ( 1 )把多项式的四项按前两项与
后两项分成两组, 并使两组的项按 x
)
解: 2ax-10a y+5b y-bx =2a ( x-5 y -b ( x-5 y )
的降幂排列, 然后从两组分别提取公
= ( x-5 y 2a-b ) . 因式2a 与 -b , 这时另一个因式正好
)(

2
2
,
( 2 )把x - y +ax+a y 分解因式. 都是 x -5 y 这 样 可 以 继 续 提 取
公因式.
2
2
)
解: x - y +ax+a y = ( x+ y x- y +a ( x+ y )
)(
( 2 ) 把第一、 二项作为一组, 这两
= ( x+ y x- y+a ) . 项没有公因式, 但可以运用平方差公
)(
2
例4 ( 拆、 添项法) 分解因式: x -3x +4. 式分解因式, 其中一个因式是 x+ y ;
3
把第三、 四项作为另一组, 再提取公因
3 2 3 2 2
解: 解法1 x -3x +4= ( x +1 ) - ( 3x -3 ) = ( x+1 )( x -x+1 ) -
式a 后, 另一个因式也是x+ y.
2 2
3 ( x+1 )( x-1 ) = ( x+1 )[( x -x+1 ) -3 ( x-1 )] = ( x+1 )( x -4x+4 ) =
( x+1 )( x-2 ) .
2
2
解法2 x -3x +4= ( x +x ) - ( 4x -4 ) =x ( x+1 ) -4 ( x+1 )( x 把常数4拆成1与3的和, 将多项
2
2
3
2
3
3
2
2
-1 ) = ( x+1 )( x -4x+4 ) = ( x+1 )( x-2 ) . 式分成两组 x +1 和 3x -3 , 或将
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2
2
练习巩固 -3x 拆成x -4x , 将多项式分成两
2
2
3
2
题组1 公式法 组x +x 和 4x -4 , 再用公式法及
提取公因式法求解.
1. 将多项式ab-ab 因式分解, 下列结果正确的是 ( )

3

2
2
A.a ( ab-b ) B.ab ( a-1 ) C.ab ( a+1 )( a-1 ) D.ab ( a -1 )
2

2. 将多项式ax -4ax+4a 因式分解, 下列结果正确的是 ( )
2

2
A.a ( x-2 ) B.a ( x+2 ) C.a ( x-4 ) D.a ( x+2 )( x-2 )
2
2

3. 分解因式: x +27x= .
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