Page 37 - 高中数学小题狂做·必修第一册·SJ

[ 探究拓展]
2 }, 满足戴德金分割的定义, A 正确; 对于 B , 取 M =

, , , 所
规范解答 解:( 1 )因为4∈A 1 2∈A 1 4+2=6∉A 1 { x∈Q |x<0 }, N= { x∈Q |x≥0 }, 符合戴德金分割, M
不是闭集合;
以 A 1 没有最大元素, N 有一个最小元素, B 正确; 对于 C , 取
y∈B , 设 x=3m ,
任取x , y=3n , m , n∈Z , 则 x+ y=
M= { x∈Q |x< 2 }, N= { x∈Q |x≥ 2 }, 满足戴德金分
3m+3n=3 ( m+n ) 且 m+n∈Z , 所以x+ y∈B. 同理, 割的定义, M 没有最大元素, N 没有最小元素, C正确; 对
x- y∈B , 故B 为闭集合.
于 D , 假设 M 有一个最大元素m , N 有一个最小元素n ,

( 2 )结论: 不一定.
根据戴德金分割定义, 必有 m<n , 则无法满足 M∪N=
不妨令C= { x|x=2k , k∈Z }, D= { x|x=3k , k∈Z }, 则
Q D 错误.
,
由( 1 ) 可知, D 为闭集合, 同理可证C 为闭集合.
9. { 0 , 1 , 2 } 由题意易知B= { 0 , 1 , 2 } .
因为2 , 3∈ ( C∪D ), 2+3=5∉ ( C∪D ), 因此, C∪D 不
10. { 3 , 5 , 11 , 13 } { 7 , 11 , 13 , 19 } 依题知全集U= { 2 ,
一定是闭集合, 所以若集合 C , D 为闭集合, 则 C∪D 不
3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 }, 作 Venn 图如图, 可知 A ∩B=
一定为闭集合.
{ 11 , 13 }, A= { 3 , 5 , 11 , 13 }, B= { 7 , 11 , 13 , 19 } .
章末提优
1.D 对于 A , 因为⌀是集合, 集合与集合间的关系是包

含关系, 不是属于关系, 所以 A 错误; 对于 B , 因为{( 1 ,
2 )} 表示的是点集, 所以 2∉ {( 1 , 2 )}, 所以 B 错误; 对于

C , 因为π是无理数, 所以 π∉Q 所以 C 错误; 对于 D , 因 11. { ⌀ ,{ 1 },{ 2 },{ 3 },{ 1 , 2 },{ 1 , 3 },{ 2 , 3 },{ 1 , 2 , 3 }}
,
∈ 因为 A= { 1 , 2 , 3 }, B= { x|x⊆A }, 所以集合 B 中的
为0是自然数, 所以0∈N , 所以 D 正确.

2.C 由题意得阴影部分表示的集合中的元素需满足 元素是集合A 的子集: ⌀ ,{ 1 },{ 2 },{ 3 },{ 1 , 2 },{ 1 , 3 },
x∈A , 且x∉B. 因为 A∩B= { 华南虎}, 所以阴影部分 { 2 , 3 },{ 1 , 2 , 3 }, 所以集合 B= { ⌀ ,{ 1 },{ 2 },{ 3 },{ 1 , 2 },
{ 1 , 3 },{ 2 , 3 },{ 1 , 2 , 3 }}, 因为集合 A= { 1 , 2 , 3 } 是集合 B
表示的集合即∁ A A∩B ) = { 爪哇虎, 里海虎} .
(
3.B 由题意知 1∈A , 且 A 为{ 1 , 2 , 3 } 的真子集, 所以 的一个元素, 所以 A∈B.

12. { 0 , 1 , -2 } 因为 A=2 , A※B=1 , 所以 B=1 或

A= { 1 } 或{ 1 , 2 } 或{ 1 , 3 } .
y≥x , B=3. 当 B=1 时, a=0 或 a=1. 当 B=3 时,( ax-
4.C 由题意, A∩B 中的元素满足 且x ,

1 )( x-1 )( x -ax+1 ) =0有3个解, 所以x -ax+1=
y∈
2
2
x+ y=8 ,
N , 由x+ y=8≥2x , 得x≤4 , 所以满足x+ y=8的有 0有一个不为1和 1 的解. 将x=1代入得a=2 , 不符合;
*
a
( 1 , 7 ),( 2 , 6 ),( 3 , 5 ),( 4 , 4 ) .
1
代入得a 无解, 不符合; 令 Δ=a -4=0 , 解得
2
(
5.C 因为( ∁ U A ) ∩ ( ∁ U B ) =∁ U A∪B ) = { 1 , 9 }, 所以 将x=
a
A∪B= { 3 , 5 , 7 }, 即集合A , B 中至少有一个集合含有5.
a=±2 , a=2不符合题意, 当a=-2时, x +2x+1=0 ,
2
对于 A , 5∉A , 5∉B , 错误. 对于 B , 5∉A , 5∈B , 5∈
则 此 时 x = -1 , 符 合 题 意. 所 以 a = -2 , B =
( ∁ U A ) ∩B , 又( ∁ U A ) ∩B= { 7 }, 不符合题意. 对于 D ,
1
, -1 . 故P= { 0 , 1 , -2 } .
5∈A , 5∈B , 5∈A∩B , 又 A∩B= { 3 }, 不符合题意. 2
1 , -

6.B 由已知, m 和 n 都只能取0和1. 又 m+n=1 , 所以 13. 规范解答 解:( 1 )当 m=2时, B= { x|2≤x≤8 },

m=0 , n=1或 m=1 , n=0. 当 m=0 , n=1时, 可知x∉ 又 A= { x|-1<x<4 }, 所以 A∪B= { x|-1<x≤8 } .

A , x∈B ; 当 m=1 , n=0时, 可知x∈A , x∉B , 即 A∩ ( 2 )集合 A= { x|-1<x<4 }, 则 ∁ R A= { x|x≥4 或
B= ⌀. 又 ∀x∈R , m +n=1 , 所 以 A ∪B =R , 所 以 x≤-1 } .
A=∁ R B. 当B=⌀时, m>3m+2 , 解得 m<-1 , 符合题意;
7.ACD 根 据 题 意 作 出 对 应 的 Venn 图 如 图, 则 有 m≤3m+2 , m≤3m+2 ,

3m+2≤-1
当B ≠ ⌀ 时, 或 解得 m=-1
( ∁ U Q ) ∩P=⌀ , P∩ [( ∁ U P ) ∩Q ] =⌀ ,( ∁ U Q ) ∩ ( P∪ m≥4 ,
Q ) =⌀. 或 m≥4.
综上所述, 实数 m 的取值范围为( -∞ , -1 ] ∪ [ 4 , +∞ ) .

14. 规范解答 解:( 1 ) 由题得2+5=7 , 2+7=9 , 5+7=
12 , 故集合B= { 7 , 9 , 12 } .

*
8.ABC 对于 A , M= { x∈Q |x< 2 }, N= { x∈Q |x≥ ( 2 )设 A= { a , b , c , d }, 其中a , b , c , d∈N , 不妨设a<
— 2 —
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