Page 39 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

g
2
, 是方程x -mx+1=0的两个不相 0在[ 1 , 3 ] 上恒成立. 当x=1时, ' ( 1 ) =-2≤0成立, 当1<
x 2 ) 上单调递减, x 1 x 2
x
等实数根, 所以x 1+x 2=m , x 1 x 2=1. ae ( x-1 ) 2x 2
x≤3时, 2 -2≤0等价于a≤ x . 令h ( x ) =
15 1 x e ( x-1 )
因为 |x 1-x 2 |=x 2-x 1≤ , 所以 ≤x 1<1或x 1≤-4
4 4 2x 2 2x [ -1- ( x-1 )]
2
, x∈ ( 1 , 3 ], 则h' ( x ) = <0 , 所
x
x
2
( 舍去), e ( x-1 ) e ( x-1 )
2
1 2×3
2
2
( )
( )
)
( )
( )
则 | f x 1 - f x 2 |= fx 1 -f x 2 = ( x 1 -x 2 - 以h ( x ) 在( 1 , 3 ] 上单调递减, h ( x ) =
2 min=h ( 3 ) = 3
e× ( 3-1 )
x 1 2 2 1 9 9
1 1

)
m ( x 1-x 2 +ln = 2 -x 1 +lnx 1 , ≤x 1<1. , 即a≤ 3 .
x 2 2 x 1 4 3
e e
2 1 1 1 1
-t +lnt , ≤t<1 ,
令 t=x 1∈ 16 () 2 t 1 3
, 1 , 则 gt =
(

min≥ f x ) , ' ( x ) =
16 4.B 由题意可知 g x ) ( min g - 2 -
x 4x
2
( t-1 ) 1
, 1 上单调 1 4x-3-x
()
所以 g ' ( t ) =- <0 , 所以 gt 在 16 2 - ( x-1 )( x-3 )
2
2t = = , 0<x<2. 当 x∈ ( 0 ,

4 4x 2 4x 2
递减,
(
1 ) 时, ' ( x ) <0 , 函数 g x ) 单调递减; 当 x∈ ( 1 , 2 ) 时,
g
1 255
()
gt ≤ g = -4ln2 , g ' ( x ) >0 , 函数 g x ) 单调递增. 所以当x=1时, ( x ) 取得
g
(
16 32
1
1 255 2 2 2
g
()
( )取最大值
( )
所以当x 1= 时, | fx 1 - fx 2 | -4ln2. 最小值,( 1 ) =- . fx =x -2tx+4= ( x-t ) +4-t ,
4 32 2
微专题十三 函数中的恒成立问题 x∈ [ 1 , 2 ] .①当 t<1时, 函数 f x ) 单调递增, ( x ) =
f
(
min
与存在性问题 1 11
()
f1 =5-2t , 即5-2t≤- , 解得 t≥ , 不成立; ②当1≤
2 4
2 2
x -1 x -1
(
1.C 由题得m≤ 在[ 2 , 3 ] 上有解. 设 f x ) = ,
lnx lnx 1
t≤2时,( x ) () 2 2 , 解得 t≥
f
min= ft =4-t , 即4-t ≤-
2
1
2xlnx-x+
x
max f
(
x∈ [ 2 , 3 ], m ≤f x ) , ' ( x ) = = 32 或 t≤- 32 , 不成立; ③当 t>2时, 函数 f x ) 单调递
(
2
( lnx )
2 2
1
2 1 17
x ( lnx -1 ) + , 成
f
x 减,( x ) () , 解得 t≥
min= f2 =8-4t , 即8-4t≤-
2
2
, 因为x∈ [ 2 , 3 ], 所以x ∈ [ 4 , 9 ], lnx > 2 8
2
( lnx )
17
(
1 , 所以 f ' ( x ) >0 , x∈ [ 2 , 3 ] 恒成立, 即 f x ) 在[ 2 , 3 ] 上为增 立. 综上可知, t≥ .
8
8 8
()
()
x
函数, 所以 fx max= f3 = , 所以m≤ . 5.ABC f ' ( x ) =e -a , 令 f ' ( x ) =0 , 得x=lna , 当x<
ln3 ln3

2x lna 时, ' ( x ) <0 , 当 x>lna 时, ' ( x ) >0 , 所以函数
( )
1
( )
2.D 由题意, 令 f x 1 = g x 2 =m>0 , 则e =m , x 2- f f

()
fx 在( -∞ , lna ) 上单调递减, 在( lna , +∞ ) 上单调递增,
1
1=m , 所以 x 1= lnm , x 2=m+1 , x 2-x 1=m+1-
2 所以x=lna 时, 函数取得最小值a-alna+1.因为

1 1 fx >0恒成立, 所以a-alna+1>0成立, 且a∈N , 可
*
()
lnm. 令h ( m ) =m+1- lnm ( m>0 ), 所以h' ( m ) =1-
2 2
得实数a 的取值为1 , 2 , 3.
1 1 1

2
. 令 h' ( m ) =0 , 得 m = . 所 以 当 m ∈ 0 , 时, 2
2m 2 6. 1 , 由题意, ' ( x ) =e+ ( x-1 ) e=xe. 当x∈
e+1
x
x

x

f

1 2

h' ( m ) <0 , h ( m ) 单调递减; 当m∈ 2 , +∞ 时, h' ( m ) >0 , ( -∞ , 0 ) 时, ' ( x ) <0 , 此时 fx 单调递减; 当 x∈ ( 0 ,
()
f
(
f
1 3 +∞ ) 时, ' ( x ) >0 , 此时 f x ) 单调递增. 当x→-∞时,
h ( m ) 单调递增. 所以当 m= 时, h ( m ) 有最小值 +
2 2 ()
fx →0 , 当x→+∞时,( x ) →+∞ ,( 0 ) =-1 ,( 1 ) =0 ,
f
f
f
1 的最小值为 3 1 f2 =e , 且x<1时,( x ) <0 , 作出函数 fx 的图象, 如图
2
()
()
ln2 , 即x 2-x 1 + ln2. f
2 2 2
(
所示. 直线 y=ax-1过定点( 0 , -1 ), 要使不等式 f x ) <
( )
, , 有 fx 1 +2x 2<
3.D 由对任意x 1 x 2∈ [ 1 , 3 ] 且x 1>x 2 2
()

( )
]
( ) 恒成立, 得 f x 1 -2x 1- [( x 2 -2x 2 <0恒 2a-1≤ f2 =e ,
)
fx 2 +2x 1 f
ax-1有且仅有一个整数解, 只需 a-1> f1 =0 , 解得
()
x
ae
(
()
()
成立. 令 gx = fx -2x , 即 g x ) = -2x , x∈ [ 1 , 3 ],
a>0 ,
x
x
2
ae ( x-1 ) e+1
()
则 gx 在[ 1 , 3 ] 上单调递减, 所以 g ' ( x ) = -2≤ 1<a≤ .
x 2 2
· 8 ·
9