Page 41 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

, 是方 0 ) 上单调递增, 在此区间内的值域为( 0 , +∞ ), ( x ) 在
, 是函数的两个极值点, 即x 1 x 2
c. 由题意知x 1 x 2 g

程x +bx+c=0 的两个根,从而关于 f x ) 的方程 ( 0 , 2 ) 上单调递减, 在( 2 , +∞ ) 上单调递增, 在此区间内
2
(
f 2 ( f 或 e 2 e x
的值域为 , +∞ , 故直线 y=a 与函数 g x ) = 的
[ ( x )] +b f x ) +c=0 有 两 个 根, ( x ) =x 1
(

( ( ) , 所以根据题意画图 4 x 2
f x ) =x 2. 因为 f x 1 =x 1 <x 2
2 e
e
如下: , 则
图象有三个交点, 则 a> , 故 A 正 确. 若 a=
4 2
e x x
x
f
(
f
2
f x ) =e - x , ' ( x ) =e -ex , ″ ( x ) =e -e , 则
2
f ' ( x ) 在( -∞ , 1 ) 上单调递减, 在( 1 , +∞ ) 上单调递增,
则 f ' ( x ) (
min= f ' ( 1 ) =0 , 故 f x ) 在 R 上单调递增, 故 B
1 1
x
x
(
错误. 若a= , 则 f x ) =e - x , ' ( x ) =e -x ,
f
2
2 2
( 只有
f
x
由图可看出 f x ) =x 1 有两个不等实根, ( x ) =x 2 f ″ ( x ) =e -1 , 令 f ″ ( x ) =0 , 得x=0 , 则 f ' ( x ) 在( -∞ ,
一个不等实根. 综上, 方程[ ( x )] +b f x ) +c=0的不 0 ) 上单调递减, 在 ( 0 , + ∞ ) 上 单调递增, 则 f ' ( x ) ≥
2
f
(
同实根个数为3.
min=f ' ( 0 ) =1 , 故 f x ) 在 R 上 单 调 递 增, 则
f ' ( x ) (
x x
(
4.B 由题意, 函数 f x ) =xe , x∈R , 则 f ' ( x ) =e + 1
-1
2
(
(
x
xe =e ( x+1 ) . 当 x∈ ( -∞ , -1 ) 时, ' ( x ) <0 , 函数 f x ) 仅有1 个零点 x 0. 又 f -1 ) =e - 2 ( -1 ) =
x
f
f x ) 单调递减; 当 x∈ ( -1 , +∞ ) 时, ' ( x ) >0 , 函数 2-e 1 1 1 1 2 8- e
(
f

f
<0 , - 2 =e -2 - 2 = >0 , 则
-
f x ) 单调递增.所 以 函 数 2e 2 8e
(
(
(
f x ) 的最小值为 f -1 ) = 1
x
2
(
-1<x 0<- , 故 C 正确. 若a=1 , 则 f x ) =e -x ,
2
1
(
- , 函数 f x ) 的大致图象
e 1-e
-1
2
f
当x=-1 时, ( -1 ) =e - ( -1 ) = <0 , 故 D
(
如 图 所 示. 函 数 g x ) = e
m [ ( x )] -2 f x ) +1 恰有 错误.
2
f
(

一个零点, 等价于方程 m [ ( x )] -2 f x ) +1=0 只有 6. ( -∞ , 0 ) 因为函数 f x )的定义域为( 0 , +∞ ), 所
(
(
f
2
3 2 3
(
2
(
(
一个根, 令 f x ) =t , 由函数 f x ) 的图象可知方程mt - 以 f x ) =xlnx-x +x -ax=0⇔ax=xlnx-x +
2
2
(
2t+1=0只能有一个正根, 且若有负根的话, 负根必须小 x ⇔a=lnx-x +x , 所以函数 f x ) 有两个不同的零点
即为 方 程 a=lnx-x +x 有 两 个 不 同 实 数 根. 令

2
1 1
于- .①当 m=0时, 方程为 -2t+1=0 , 所以t= ,
e 2 1
(
2
g x ) =lnx -x +x , 则 g ' ( x ) = -2x +1=
符合题意.②当 m≠ 0时, 若Δ=4-4m=0 , 即 m=1时, x
(
方程为 t -2t+1=0 , 解得t=1 , 符合题意. 若 Δ>0 , 即 2x+1 )( -x+1 )
2
, 所 以 当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时, ' ( x ) >0 ,
x g
m<1时, 设 ( t ) =mt -2t+1. ( ⅰ ) 当 m<0时, 二次函
2
φ
g x ) 单调递增; 当x∈ ( 1 , +∞ ) 时, ' ( x ) <0 , ( x ) 单调
(
g
g
1
φ
φ
(
()
数 ( x ) 的图象开口向下, 对称轴t= m <0 , 又 ( 0 ) = 递减. 因为 g 1 =0 , 所以可画出函数 g x ) 的草图, 如

2
1>0 , 要使方程 mt -2t+1=0只有一个正根, 且负根小 图. 由图可知, 要使方程a=lnx-x +x 有两个不同实
2
数根, 则a<0.
1 1 1 2

于- , 则 φ - e >0 , 即 m · 2 + +1>0 , 可得
e e e
-e-2e<m<0. ( ⅱ ) 当0<m<1时, 二次函数 ( x ) 的
2
φ
1
φ
图象开口向上, 对称轴 t= >0 , 又因为 ( 0 ) =1>0 , 则
m
方程 mt -2t+1=0有两个不等的正根, 不符合题意. 综
2
2
上所求, 实数 m 的取值范围是( -e-2e , 0 ] ∪ { 1 } .
5.AC f x ) =e -ax 有3个零点, 即直线 y=a 与函 7. ( e+1 , +∞ ) 因为 f x ) 与 g x ) 的图象上有且仅有

(
x
(
2
(
(
(
x x 2对关于原点对称的点, 所以方程 f x ) + g -x ) =0有
e e
(
(
数 g x ) = 的 图 象 有 三 个 交 点, 由 g x ) = , 得
x 2 x 2 且仅有两解. f x ) + g -x ) =xlnx+1+e -ax=0 , 即
x
(
(
x
x
x
x
x 2
ex -e2x xe ( x-2 ) e +1 e +1
(
g ' ( x ) = = , 则 g x ) 在 ( - ∞ , a=lnx+ . 设h ( x ) =lnx+ ( x>0 ), 可知
x 4 x 4 x x
· 9 ·
1