Page 37 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

( )
,
( )
3 ) 上单调递增, 在( 3 , +∞ ) 上单调递减, 即当x=3时, 函 所以对任意x 1 x 2∈ [ -1 , 1 ], 恒有 | f x 1 - f x 2 |≤
3
3 27 M-m=11- ( -11 ) =22.
数取最大值, 所以 y max= 3 = 3 .
e e 微专题十二 函数的单调性、 极值
1
12.3+ln2 y=e 与 y= x-1均是单调函数. 作出 和最值问题

x
2
2 x+1 2
f
x
e , x≤0 , 1.B 由题意, ' ( x ) = ( x -ax-2 ) 'e + ( x -ax-
x+1 2 x+1 . 令 f ' ( x ) =0 , 即
(
2 x-1 , x>0 x + ( 2-a ) x-2-a=0. 若函数 f x ) 有两个极值点且
函数 f x ) = 1 的图象, 如图. 由图可知, 2 )( e ) '= [ x + ( 2-a ) x-2-a ] e
2
(
2
( , 这两个极值点互为相反数, 则 x + ( 2-a ) x-2-a=
当0<m≤1 时, 方程 f x ) =m 有两个不相等实根x 1
, , 则
1
x
x 2. 不妨设x 1≤0 , 2<x 2≤4. 则e =m , x 2-1=m , 即 0的两个根互为相反数. 不妨设两个根分别为x 1 x 2
1
2
2 Δ>0 , x 1+x 2=a-2=0 , 解得a=2 , 故 f ' ( x ) = ( x -

x 1=lnm , x 2=2m+2. 则 |x 1-x 2 |=x 2-x 1=2m+2- 4 ) e x+1 . 令 f ' ( x ) >0 , 得x>2或x<-2 ; 令 f ' ( x ) <0 ,

lnm. 令 g m ) =2m+2-lnm , 0<m≤1 , 则 g ' ( m ) =2- 得-2<x<2. 即函数 f x ) 在( -∞ , -2 ),( 2 , +∞ ) 上单
(
(
1 2m-1 1 调递增, 在( -2 , 2 ) 上单调递减. 故函数在x=2处取得极
g
g
= . 当 0<m< 时, ' ( m ) <0 , ( m ) 单调递
m m 2
小值 f 2 =-2e.
3
()

减; 当 1 <m≤1 时, ' ( m ) >0 , ( m ) 单调递增. 所以 2.A 由 题 意, ' ( x ) = -2sin 2x +cosx =
f
g
g
2

f
-4sinxcosx+cosx=cosx× ( -4sinx+1 ), ' ( x ) =
1
(
g m ) =2m+2-lnm 在m= 时取得唯一极小值, 也是 π
2 , , x 2 f ' ( x ) 的图象如下图所示.
,
0在( 0 , π ) 上的根为x 1
2
1 1 1
最小值, 2 =2× 2 +2-ln 2 =3+ln2.
g
π π π
,)
x ( 0 , x 1 ) x 1 x 1 , 2 2 2 x 2 ( x 2 π
, x 2

13.规 范 解 答 ( 1 )解: 由 奇 函 数 的 定 义,应 有
f ' ( x ) + 0 - 0 + 0 -
(
3
(
f -x ) =- f x ), x∈R , 即a ( -x ) +c ( -x ) +d= 极大 极小 极大
f ( x ) ↗ ↘ ↗ ↘
-ax -cx-d , 所以d=0.
3
π π
(
因此, ( x ) =ax +cx. 由条件 f 2 =-16为 f x ) 的极 故当x= 2 时, 函数 f x ) 取得极小值, 即 x 0= 2 , 故
3
f
()
(

f ' ( 2 ) =0 , 12a+c=0 , cosx 0=0.
值, 得 即 解 得 a =1 ,
() 8a+2c=-16 , lnn lnx
f 2 =-16 ,

*
(
(
3.B 由 f n ) = ( n∈N ), 设函数 g x ) = , 则
c=-12 , n x

3
2
(
f
所以 f x ) =x -12x , ' ( x ) =3x -12=3 ( x+2 )( x- g ' ( x ) = 1-lnx . 令 g ' ( x ) =0 得 x=e , 故当 x∈ ( 0 ,
x 2
2 ) .
g
g
e ) 时, ' ( x ) >0 , ( x ) 单调递增, 当 x∈ ( e , +∞ ) 时,
令 f ' ( x ) =3 ( x+2 )( x-2 ) =0 , 则有x 1=-2 , x 2=2 , 列
g ' ( x ) <0 , ( x ) 单调递减, 所以当x=e时, ( x ) 取得极
g
g
表如下:
lnn ln2
(
*
大值, 也是最大值, 而 f n ) = ( n∈N ), 又 =
x ( -∞ , -2 ) -2 ( -2 , 2 ) 2 ( 2 , +∞ ) n 2

f ' ( x ) + 0 - 0 + ln4
, 即 f 2 ) =f 4 而 2<e<3<4 , 故 其 最 大 值 为
(),
(
f ( x ) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 4

由表知, 函数的单调减区间是( -2 , 2 ), 单调增区间是 f 3 = ln3 .
()
3
( -∞ , -2 ) 和( 2 , +∞ ), ( x ) 极大值= f -2 ) =16. x x x
f
(
(
(
(
4.D 设 g x ) =e f x ) -e , 则 g ' ( x ) =e f x ) +
( 2 ) 证明: 由( 1 ) 知, ( x ) =x -12x 的单调减区间是 e f ' ( x ) -e =e [ ( x ) + f ' ( x ) -1 ] <0 , 函数 g x ) 单调
3
f
x
x
x
(
f
( -2 , 2 ), 所以 f x ) 在[ -1 , 1 ] 上单调递减, 且 f x ) 在
(
(
f
()
()
f
递减, ( 0 ) =11 , 故 g 0 =f 0 -1=10 , ( x ) >
f
(
[ -1 , 1 ] 上的最大值为 M= f -1 ) =11 , ( x ) 在[ -1 , 1 ] x
e +10 , 即e f x ) -e >10 , 即 g x ) > g 0 故x<0.
x
x
(
(
(),
()
上的最小值为 m= f 1 =-11 , e x
· 8 ·
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