Page 38 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

5.ABD A 选项, ' ( x ) =3x +2ax+b , 由题意知实数 4- 2t
f
2
g
g
, 是方程 3x +2ax+b=0 的两个不等实根, 所以 4t ( t>1 ), 所以当1<t<8时, ' ( t ) >0 , ( t ) 单调
2
x 1 x 2
g
gt
2a b 递增, 当t>8 时, ' ( t ) <0 , () 单调递减, 所以当t=
2
Δ=4a -12b>0 , 且x 1+x 2=- , x 1 x 2= . 由x 1+
gt max=ln8-2=3ln2-2 , 所以
3 3 8时, () 取得最大值, ()
gt
, 得b=-2a , 所以a +6a>0 , 解得a>0 或
2
x 2=x 1 x 2 的最大值为3ln2-2.
x 1+x 2
a<-6 , 所以 A 正确.B选项, 若函数 f x ) 的图象过坐标
(
︵ π
8. 规 范 解 答 解:( 1 ) L =AC +CD = ×20+
原点, 则 f 0 =c=0 , 故必要性成立, 反之, 若c=0 , 则 3
()
f 0 =c=0 , 故函数 f x ) 的图象过坐标原点, 充分性成 2π 20
(
()
2
2
20+40-2×20×40×cos = π+207≈20+52=
立, 所以 B 正确.C 选项, 若函数 f x ) 在 R 上单调, 则 3 3
(
f ' ( x ) =3x +2ax+b≥0恒成立, 所以4a -12b≤0 , 即 72 ( m ) .
2
2
3b≥a , 所以 C不正确.D 选项, 因为函数 f x ) 的图象关 ( 2 ) S ( θ ) =S扇形 AOC+S △COD = 1 ×θ×20 + 1 ×20×40×
(
2
2
2 2
(
f
(
于点( 1 , ( 1 )) 中心对称, 所以 f 1+x ) + f 1-x ) =
sin ( π-θ ) =200θ+400sinθ , θ∈ ( 0 , π ) .
2
3
(),
2 f 1 即( 1+x ) +a ( 1+x ) +b ( 1+x ) +c+ ( 1-
2π

2
3
x ) +a ( 1-x ) +b ( 1-x ) +c=2 ( 1+a+b+c ), 整理得 S' ( θ ) =200+400cosθ , 当 θ∈ 0 , 3 时, S' ( θ ) >0 ,
2
( a+3 ) x =0 , 所以a=-3 , 所以 D 正确.
2π
, π 时, S' ( θ ) <0 , S ( θ ) 单调
S ( θ ) 单调递增, 当θ∈ 3
1
(
6. ( -∞ , -1 ) 函数 f x ) =- -ax-blnx 的定义域
x
递减.
2
1 b -ax -bx+1
f
为( 0 , +∞ ), ' ( x ) = 2 -a- = . 因为x= 2π 2π 3
x x x 2 所以当θ= 时, 最大值为S max=200× +400× =
3 3 2
()
1是 fx 的极小值点, 则 f ' ( 1 ) =-a-b+1=0 , 所以b=
400π
2
2 ( ax+1 )( x-1 ) +200 3≈ 400+340=740 ( m ) .
ax + ( 1-a ) x-1 3
f
1-a , ' ( x ) = - = - .
x 2 x 2
1
f
9. 规范解答 解:( 1 ) 由题意知, ' ( x ) =x-m+ =
①当a≥0时, 由 f ' ( x ) <0得x>1 , 由 f ' ( x ) >0得0<x< x
1 , 可得 fx ) 在( 0 , 1 ) 上单调递增, 在( 1 , +∞ ) 上单调递 x -mx+1
(
2
, x>0 ,
减. 不满足条件.② 当a<0 时, 由 f ' ( x ) =0 得 x=1 或 x
2
2
1 设 y=x -mx+1 ( x>0 ), Δ=m -4.
x=- . 若a=-1 , 则 f ' ( x ) ≤0在定义域上恒成立, 函
a ①当Δ≤0 , 即-2≤m≤2时, f
y≥0 , ' ( x ) ≥0 ,
数单调递减, 不满足条件. 若-1<a<0 , 则可得 f x ) 在 所以 f x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递增.
(
(
1
a
( 0 , 1 )上 单 调 递 增,在 1 , - 上 单 调 递 减,在 ②当Δ>0 , 即 m<-2或 m>2时,
( ⅰ ) 当 m < -2 时, ≥0 , ' ( x ) ≥0 , 所 以 f x ) 在
(
f
y
1

- a , +∞ 上单调递增, 则函数 f x ) 在 x=1 处取得 ( 0 , +∞ ) 上单调递增.
(
极大 值, 不 满 足 条 件. 若 a< -1 , 则 可 得 f x ) 在 m- m -4
2
(
( ⅱ ) 当 m>2 时, 令 f ' ( x ) =0 , 则 x 1= 或
2
1 1
, 1 上 单 调 递 减, 在

a 上 单 调 递 增, 在 - a 2
0 , -
x 2= m+ m -4 .
( 1 , +∞ ) 上单调递增, 则函数 f x ) 在x=1处取得极小 2
(
值, 满 足 条 件. 综 上, 满 足 条 件 的 a 的 取 值 范 围 是 令 f ' ( x ) <0 , 则x 1<x<x 2 ; 令 f ' ( x ) >0 , 则0<x<x 1 或
(
( -∞ , -1 ) . x>x 2. 所以 f x ) 在( x 1 x 2 ) 和
, ) 上单调递减, 在( 0 , x 1

7. ( 1 , +∞ ) 3ln2-2 作出 f x )的 ( x 2 +∞ ) 上单调递增.

,

(
图象 如 图 所 示, 要 使 关 于 x 的 方 程 综上所述, 当 m≤2 时, ( x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递增. 当
f
f x ) = a 恰 有 两 个 不 同 的 实 数 根 m>2时, ( x ) 在 m- m -4 m+ m -4 上单调递
2
2
(
2
,
f
, 则需 a>1 , 解得a>1. 不妨 2
x 1 和x 2
2 2
2 x m- m -4 m+ m -4
, 则 2x 1=e = a , 令 a = 减; 在 和 上 单 调
2
0 ,
设x 1<x 2 2 2 , +∞
t
t ( t>1 ), 则x 1=- , x 2=lnt , 所以x 1+x 2=lnt- 递增.
2
( 2 ) 由( 1 ) 得当m≤2时, ( x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递增, 不合
f
t t
()
( t>1 ) . 令 g t =lnt- ( ,
2 2 ( t>1 ), 则 g ' ( t ) = 题意. 所以 m>2 , 不妨设0<x 1<1<x 2 , 则 f x ) 在( x 1
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