Page 43 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

π

4
(
项, 因为0< π<e , 所以 f π ) < f e 即 ln π lnπ < f ' ( x ) =1-cosx>0在 0 , 上恒成立, 所以 f x ) =
(
(),
=
π 2 π
π

1 x-sinx 在 0 , 上单调递增. 因为 f x ) > f 0 =0 ,
()
(
2
2
, 所以0<elnπ<2 π , 所以 elnπ<4π , C 错; 对于 D 4
e

π
e elnπ 所以x>sinx , x∈ 0 , ( ) ,
lnπ
选项, 因为 π >e , 所以 f π ) < f e 即 e = e < 4 . 构造函数 g y = y-cos y
e
e
(
(),
π π

y
( )
1 g ' ( ) =1+siny>0 在 π , π 上恒成立, 所以 g y =
2
e
, 所以π>elnπ , D 错. 4
e
π

5. ①④ 令 f x ) =e -lnx ( x>0 ), 则 f ' ( x ) =e - y-cos y 在 π , π 上单调递增, 所以 g y > g 4 =
x
x
(
4
( )
1 , 易 知 当 x ∈ ( 0 , + ∞ ) 时, ' ( x ) 单 调 递 增, 由
x f π - 2 >0 , 所以 y>cos y y∈ π , π , 所以 sinx+

,
4 2 4
1 1
3
f ' 3 =e -3<0 , ' ( 1 ) =e-1>0 , 则 存 在 x 0 ∈ cos y<x+ y 故 D 正确.
f
,

1+lnx

1 7. 规范解答 ( 1 ) 解: 因为 g x ) =1- , 所以
(
3 ) ) 时, ' ( x ) < x
f
, 1 使得 f ' ( x 0 =0 , 所以当x∈ ( 0 , x 0

( 1+lnx ) 'x- ( 1+lnx ) lnx
f
0 , ( x ) 单 调 递 减; 当 x∈ ( x 0 + ∞ ) 时, ' ( x ) >0 , g ' ( x ) =- = 2 .
,
f
x 2 x
( 时,
f x ) 单调递增. 因为0<x 1<x 2<1 , 所以当x 2=x 0
令 g ' ( x ) >0 , 得x>1 , 令 g ' ( x ) <0 , 得0<x<1.
x x
( ) 2 1 , 所以此时
所以 g x ) 的单调递增区间是( 1 , +∞ ), 单调递减区间是
( ), 即 e -lnx 2 <e -lnx 1
f x 2 < f x 1
(
x x
2 1 , 所以
e -e <lnx 2-lnx 1 , 故②错误. 因为1<x 3<x 4 ( 0 , 1 ) .
x x x
4
( ) 4 3 , 所以 e -
f x 4 >f x 3 1+lnx 在( 0 , 1 ) 上单调递
( ) 即 e -lnx 4>e -lnx 3
(
( 2 ) 证明: 由( 1 ) 知 g x ) =1-
x x
x e
3 ( x>0 ),
e >lnx 4 -lnx 3 , 故 ① 正 确. 令 h ( x ) =
x 1
减, 所 以 <m <n<1 时, ( m ) >g n ), 即 1-
g
(
x
e ( x-1 ) e
h' ( x ) = , 所 以 当 x∈ ( 0 , 1 ) 时, h' ( x ) <0 ,
x 2 1+lnm 1+lnn 1+lnm 1+lnn
>1- , 所 以 < , 即
h ( x ) 单调递减; 当x∈ ( 1 , +∞ ) 时, h' ( x ) >0 , h ( x ) 单调 m n m n

) 的大小无 n 1+lnn
递增. 因为0<x 2<1<x 3 , 所以h ( x 2 ) 与h ( x 3 < .
m 1+lnm
x
x
法确定, 即x 3 e , x 2 e 的大小无法确定, 故③错误. 因为
2
3
8. 规范解答 ( 1 ) 解: 函数 f x ) 的定义域为( 0 , +∞ ),
(
x 2 x 1 2
) ), 即 e e , 所以 a a+2x
0<x 1<x 2<1 , 所以h ( x 2 <h ( x 1 < f ' ( x ) = +2x= .
x 2 x 1 x x
x x
x 2 e >x 1 e , 故④正确. ①当a≥0 时, ' ( x ) >0 , 则 f x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调
(
f
1
2
x e y e 递增.
x
e

6.ACD 由题意得 = . 令 f x ) = ( 0<
(
sinx sin y sinx
a
②当a<0时, 令 f ' ( x ) =0 , 解得x= - . 当0<x<
x
e ( sinx-cosx ) 2
f
x<π ), ' ( x ) = . 令 f ' ( x ) <0 , 即
2
sinx
a
2
f
(
- 时, a + 2x < 0 , ' ( x ) < 0 ,则 f x )在
π
4

sinx<cosx , 因 为 x∈ ( 0 , π ), 所 以 x∈ 0 , . 令 2

a a 2
f ' ( x ) >0 , 即 sinx>cosx , 因为 x∈ ( 0 , π ), 所以 x∈ 0 , - 2 上单调递减; 当x> - 2 时, a+2x >0 ,
π π 上单调递减, 在 π , π 上单
4 ( 4 4 f ' ( x ) >0 , 则 f x ) 在 - a , +∞ 上单调递增.
, π . 所以 f x ) 在 0 ,
(
x y 2
调递增. 因为 e = e , 即 f x ) = f y 所以0<x< 综上, 当a≥0时, 函数 f x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递增; 当
(
( ),
(
sinx sin y
x
π π e a<0 时, 函 数 f x ) 在 a 上 单 调 递 减, 在
x
, < y<π. 因为0<x< y<π , 所以e <e , 而 = ( 2
y
0 , -
4 4 sinx
y
e a
,
, 所以 sinx<siny 故 A 正 确. 当 y 取 钝 角 时, - , +∞ 上单调递增.
sin y 2

2
(
,
f
cos y<0 , sinx>0 , 所以 B 错误. 又由 sinx<siny 得 ( 2 ) 证明: 当a=1时, ( x ) =lnx+x , 要证明 f x ) ≤

2
π x +x-1 , 即证lnx≤x-1 , 即lnx-x+1≤0.
< y<π-x<π , 所以 cos y>cos ( π-x ), 即 cosx+
4
1-x
(
设 g x ) =lnx-x+1 , 则 g ' ( x ) = , 令 g ' ( x ) =0 , 得
(
cos y>0 , 所以 C 正 确. 构 造 函 数 f x ) =x-sinx , x
· 9 ·
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