Page 46 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

x 2 y 2

x 2+x 1

)
lnx 1+lnx 2= ( lnx 1-lnx 2 . 3.①③ 设双曲线 C 的方程为 2 - 2 =1 , 根据条件可
x 2-x 1 a b
1 2 2
· , 两边同时取对数, 即证lnx 1+lnx 2< 知 b 3 x y
欲证x 1 x 2< 2 = , 所以方程可化为 2 =1 , 将点( 3 , 2 ) 代
e a 3 3b 2 - b
1 x 2+x 1 2
ln 2 = -2 , 即 证 lnx 1 +lnx 2 = ( lnx 1 - 入得b =1 , 所以a =3 , 所以双曲线 C 的方程为 x
2
2
e x 2-x 1 3 -
x 2 2 2
1+ 2 c a +b 3+1
lnx 2 <-2 , 即 x 1 · ln x 2 <-2. y =1 , 故 ① 正确; 离心率e= a = a 2 = 3 =

)
x 2 x 1
1-
x 1 23
, 故 ② 错误; 双曲线 C 的焦点为( 2 , 0 ),( -2 , 0 ), 将
1+t 3
令 x 2 =t>1 , 即证 · lnt<-2 , 即证tlnt+lnt-
0
x 1 1-t x=2代入曲线 y=e x-2 -1得 y=e-1=0 , 故 ③ 正确;
2t+2>0. 2
x
2
- y =1 ,

3 2

1 联立 整理得 y -2 2 y+2=0 , 则 Δ=
()
g
设 gt =tlnt+lnt-2t+2 , ' ( t ) =lnt+ -1 ,
t
x- 2 y-1=0 ,

1 1 t-1
g ″ ( t ) = - 2 = 2 >0 , 故 g ' ( t ) 在( 1 , +∞ ) 上单调递 8-8=0 , 故直线与C 只有一个公共点, 故④错误.
t t t
4.C 若a 1=0 , 则a n=0 , n≥1 , 故此时S 6=0 , 与题设矛
增, 所以 g ' ( t ) > g ' ( 1 ) =0 , 故 gt 在( 1 , +∞ ) 上单调递
()
a n+1 1
() () , 故a n ≠0 , 所以 = , 所
增, 所以 gt > g 1 =0 , 所以 tlnt+lnt-2t+2>0 , 所 盾, 故a 1 ≠ 0 , 而a n=2a n+1
a n 2
1
以x 1 x 2< 2 . 1
·
e 1 a 1 1- 2

6
} 是公比为 的等比数列, S 6= =

以{ a n
阶段温习4 2 1
1-
2
1
x= , 63 63
x- 3 y+1=0 , 2 a 1= , 解得a 1=1.

1.B 联立方程组 解得 即交 32 32
3

3x+ y- 3=0 ,
y= , 5.8 或 9 各项均为正数的等比数列{ a n } 中, 若 a 3+
2

a 3+a 5=5 , a 3=4 ,
a 3 a 5=a 2 a 6=4 ,
点为P 1 3 . 当直线经过点P 且与x 轴垂直时, 直线 a 5=5 , a 2 a 6 =4 , 所以 解得 或
a 5=1
,
2 2
1 a 3=1 , 1 1
2
方程为x= , 到原点的距离不为1 , 不符合题意; 当直线 ( 舍去), 所以a 5=a 3 q 解得 q= 或 q=- ,
,
2 2 2
a 5=4
3 1
过点 P 且与x 轴不垂直时, 设直线方程为 y- = 因为 q∈ ( 0 , 1 ), 所 以 q= , 所 以 a n =a 5 · q n-5 =
2 2
3 k 1 n-5 1 n-5
- 2 . 又由 b n =lo g 2 a n =lo g 2 2 =5-n , 所 以
1 3 k 2 2
2 2 2 k +1
k x- , 即kx- y+ - =0 , 由d= =
2
=
S n= n ( 4+5-n ) n ( 9-n ) , 则c n = S n = 9-n . 当n<
3 2 2 n 2
1 , 解得k=- . 综上, 故符合题意的直线只有1条.
3 9-n
*
9 , n∈N 时, c n= >0 ; 当n=9时, c n=0 ; 当n≥10 ,
2.AD 设两切点分别为 A , B , 连接 OA , OB , OP , 由题 2

意可得O , P , A , B 四点共圆. 因为 ∠APB=90° , 所以四 S 1 S 2
*
n∈N 时, c n<0 , 故当n=8 或n=9 时, + + … +
1 2
边形OAPB 为正方形, 所以OP= 2b , 所以b<OP≤a ,
S n
即b< 2b≤a , 所以 2b ≤a , 即 2 ( a -c ) ≤a , 所以 n 取得最大值.
2
2
2
2
2

c 2 2 6. { 5 , 6 } 因为圆O 的半径为5 , OP=4 , 所以过点 P 的
2 2 . 因为0<e<1 , 所以 ≤e<1 , 所
a ≤2c , 即e= ≥
a 2 2
2
2
n 条弦的最短弦长=2 5 -4 =6 , 最长弦长为直径10 ,

以 A , D 符合条件.
则过点P 的 n 条弦的长度组成一个等差数列, 最短弦长
为a 1=6 , 最长弦长为a n=10 , 即10=6+ ( n-1 ) d , 解得
4 2
n-1 3
d= ∈ , 1 , 则 5≤n<7 , 则n 的取值集合为{ 5 ,

6 } .
· 9 6 ·