Page 42 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

x
(
-1
f
e +1 当a>1时, ( -1 ) =e >0 , 所以 f x ) 在( -1 , lna ) 上
y=a 与 h ( x ) =lnx+ 的图象有两个交点.h' ( x ) =
x 2a
f
2
有且仅有一个零点, ( 2a ) =e -a ( 2a+1 ) > ( 2a ) -
x
x
x
1 e · x- ( e +1 ) ( x-1 )( e +1 ) x 2
+ = . 令h' ( x ) >0 , 得 a ( 2a+1 ) =a ( 2a-1 ) >0 , 这是因为当x>0时, e >x ,
x x 2 x 2
取x=2a , 可知上面不等式成立, 所以 f x ) 在( lna ,
(
x>1 ; 令h' ( x ) <0 , 得 0<x<1. 所以函数h ( x ) 在( 0 ,
2a ) 上有且仅有一个零点.
1 ) 上单调递减, 在( 1 , +∞ ) 上单调递增, 且两边趋向正无
所以当a>1时 f x ) 有两个零点.
(
穷, 所以h ( x )
min=h ( 1 ) =e+1 , 所以要满足题意, 则a>
所以实数a 的取值范围是( 1 , +∞ ) .
h ( 1 ) =e+1.
微专题十五 函数、 导数与不等式的综合应用
1
f
8. 规范解答 解:( 1 ) 当 a= 时, ( x ) =xsinx+ x x
f
(
2 1.D 对于 ① , 令 f x ) =e -x-1 , ' ( x ) =e -1 , 则
(
1 1 f x ) 在( -∞ , 0 ) 上单调递减, 在( 0 , +∞ ) 上单调递增,
2

cosx- x , 则 f ' ( x ) =x cosx- 2 , x∈ ( -π , π ) .
4 ( () x x
f x )
min= f 0 =0 , ∀x∈R , e -x-1≥0 , 即e ≥x+1 ,
π π x x-1 ≥x ( x>0 ) 恒成立, 则有
令 f ' ( x ) =0 , 得x=- 或x=0或x= . ①正确; 由e ≥x+1 知, e
3 3
x-1 ≥lnx , 即 x-1≥lnx 成立, ② 正确; 对于 ③ , 令
lne
π π
f
当-π<x< - 时, ' ( x ) >0 ; 当 - <x<0 时, lnx 1-lnx
3 3 h ( x ) = ( x>e ), h' ( x ) = <0 , 即 h ( x ) 在
x x 2
π π
f
f ' ( x ) <0 ; 当0<x< 时, ' ( x ) >0 ; 当 <x<π 时, lnx
3 3 ( e , + ∞ ) 上 单 调 递 减, 而 x +1>x >e , 则 >
x
f ' ( x ) <0.
ln ( x+1 ) x+1 x x+1
π π 等价于 lnx >ln ( x+1 ), 所以有 x >
3
(
所以 f x ) 在 -π , - , 0 , 上 单 调 递 增, 在 x+1
3
x
( x+1 ), x>e , ③正确.
π π
- 3 3 2.D 令 ft =e-3t , t∈ ( 1 , 2 ), 则 f ' ( t ) =e-3 , t∈
, π 上单调递减.
t
t
, 0 ,
()

( 2 ) 证 明: ( x ) 的 定 义 域 为 ( - ∞ , + ∞ ), 因 为 ( 1 , 2 ) . 由 f ' ( t ) >0得ln3<t<2 , 由 f ' ( t ) <0得1<t<
f

ln3 , 所以 ft 在( 1 , ln3 ) 上单调递减, 在( ln3 , 2 ) 上单调

()
1
2
(
f -x ) =-xsin ( -x ) +cos ( -x ) - a ( -x ) = x
f
( ), 即 e -3x>
2 递增. 当1<x< y<ln3 时, ( x ) > f y

y , x y
1 e -3 y 也即e +3 y>e +3x , 则 A 错误; 当ln3<x<
xsinx+cosx- ax = f x ), 所以 f x ) 为偶函数.
2
(
(
2 y<2 时, ( x ) < f y x y , x
f
( ), 即 e -3x<e -3 y 也即 e +
因为 f 0 =1>0 , 所以当a≥1时, ( x ) 有且仅有两个零 3 y<e +3x , 则 B 错误. 令 gt =t -3t , t∈ ( 1 , 2 ), 则
()
f
y
3
2
()
点等价于当a≥1时, ( x ) 在( 0 , +∞ ) 上有且仅有一个
f
()
3
2
g ' ( t ) =3t -6t<0在( 1 , 2 ) 上恒成立, 所以 gt =t -
零点.
2
(
3t 在( 1 , 2 ) 上单调递减, 又 1<x< y<2 , 所以 g x ) >

f ' ( x ) =x ( cosx-a ), 当a≥1时, 若x>0 , 则 f ' ( x ) < g y 即x -3x > y -3 y 也即x +3 y > y +3x ,
3
( ),
3
,
2
2
2
2
3
3
0 , 所以 f x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递减, 故 C错误, D 正确.
(
1
2
(
因为 f π ) = -1- aπ <0 , 由零点存在性定理知, 3. C 先证明下面两个重要的不等式( 证明过程见第
2 x
1题) .①e ≥x+1 , 当且仅当x=0 时取等号; ②lnx≤
f x ) 在( 0 , +∞ ) 上有且仅有一个零点.
(
99 99
100
综上, 当a≥1时, ( x ) 有且仅有两个零点. x-1 , 当且仅当 x=1 时取等号. 故 e >- 100 +1=
f
x
9. 规范解答 解:( 1 ) 由题知 f ' ( x ) =e -a , x∈R.
1 101 101 1
, c=ln < -1= .
f
f
①当a≤0 时, ' ( x ) >0 , ( x ) 在( -∞ , +∞ ) 上单调 100 100 100 100

递增. lnx
(
4.A 构造函数 f x ) = , 其中 x>0 , 则 f ' ( x ) =

②当a>0 时, 由 f ' ( x ) <0 得 x∈ ( - ∞ , lna ), 由 x

1-lnx
(
f ' ( x ) >0 得 x∈ ( lna , +∞ ), 所 以 f x ) 在 ( - ∞ , , 当0<x<e时, ' ( x ) >0 , 此时函数 f x ) 单调
f
(
x 2

lna ) 上单调递减, 在( lna , +∞ ) 上单调递增.
递增, 当x>e时, ' ( x ) <0 , 此时函数 f x ) 单调递减. 对
(
f
( 2 ) 由( 1 ) 知当a≤0时, 至多有一个零点, 不合题意;

2
2
于 A 选项, 因为e<π , 所以 f e > f π ), 即 1 2lnπ ,
()
(
(
f
当a>0 时, ( x ) 的最小值为 f lna ) =a-a ( lna+ e > π 2

1 ) =-alna. 所以 π >2elnπ , A 对; 对于 B 选项, 因为 e<π , 所以

2
因为 f x ) 有两个零点, 所以 flna ) <0即 lna>0 , 解得

(
(

f e > f π 即 1 lnπ , 所以 π>elnπ , B 错; 对于 C 选
(),
()
>
a>1. e π
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