Page 44 - 高中数学小题狂做·选择性必修第一册·SJ

(
(
x=1. lo g 3 e>lo g 3 2 , 则 f ln3 ) >f lo g 3 e ) >f lo g 3 2 ), 又
(
当x∈ ( 0 , 1 ) 时, ' ( x ) >0 , 当x∈ ( 1 , +∞ ) 时, ' ( x ) < flo g 3 2 ) = f -lo g 3 2 ) = flo g 3 0.5 ), 则c>a>b.
(
(
(
g
g
(
0. 所以x=1 为极大值点, 也为最大值点. 所以 g x ) ≤ 1 1 1 1
a
x
6.D 因为x ≥a >0 , 所以 lnx≥ lna , 即alna≤
a x
g 1 =0 , 即lnx-x+1≤0.
()
xlnx 恒成立. 令 f x ) =xlnx , 则 f ' ( x ) =lnx+1. 所以

(
(
故 f x ) ≤x +x-1.
2

1
( 3 ) 证明: 由( 2 ) 得lnx≤x-1 ( 当且仅当x=1时等号成 当 x ∈ 0 , e 时, ' ( x ) <0 ; 当 x ∈ 1 , +∞ 时,

e

f
1 1 1

立), 令x=1+ , 则ln1+ 2 < , 1
n 2 n n 2 f ' ( x ) >0. 所 以 f x )在 0 , 上 单 调 递 减,在
e

(
1 1 1 1
2 3 2 < 2 + 1 1 1
所以 ln 1+ 2 +ln1+ 2 + … +ln1+

e , +∞ 上单调递增, 所以 f x ) ≥ f e =- e , 故
n 2
(
1 1 1 1 1 1 1
2 + … + 2 < + + … + = - + 1 1
3 n 1×2 2×3 n ( n-1 ) 1 2 alna ≥ - , xlnx≥- . 又 alna ≤xlnx , 所 以
e e
1 1 1 1 1
- + … + - =1- <1=lne , 1 1
2 3 n-1 n n alna≤ ( xlnx ) . 综上所述, alna=- , 所以
min=-
e e
1 1 1 1

即ln 1+ 2 1+ 3 1+ 4 n < a= 1 , 即a 的取值范围为 1 .
·…· 1+
2
2
2
2
e e

x
x
lne , 7.BCD 设切点坐标为( x 0 x 0 e ) . 因为 y '= ( x+1 ) e ,
0
,
1
1
1
1
2
4

x
x
3
2 <e.
0
0
所以 1+ 2 1+ 2 1+ 2 ·…· 1+ n 所以 y ' = ( x 0+1 ) e , 则切线方程为 y-x 0 e =
x=x
0
章末提优 ( x 0+1 ) e ( x-x 0 . 将点 A ( a , 0 ) 代入可得 -x 0 e =
x
x
0
0
)
x
1.A 因为 f ' ( x ) =2ax-1 , 所以 f ' ( 1 ) =2a-1 , 又 0 ), 化简得 x 0-ax 0-a=0. 又过点
2
( x 0+1 ) e ( a-x 0
(
()
f 1+Δx ) - f 1 2
lim =3 , 即 f ' ( 1 ) =2a-1=3 , 解得 A ( a , 0 ) 作曲线 C 的切线有且仅有两条, 即方程 x 0 -
Δx→0 Δx
2
ax 0-a=0有两个不同的解, 则Δ=a +4a>0 , 解得a>
a=2.
0或a<-4 , 故实数a 的取值范围是( -∞ , -4 ) ∪ ( 0 ,

2
2.C 由v=s' ( t ) =3t , 则 t=4时, v=48.
+∞ ) . 又-lne=-5lne=-5 , 所以结合选项判断可知
5
x
(
3.B 因为 f x ) = ( x-a ) e , 所以 f ' ( x ) = ( x-a+
B , C , D 正确.
x
1 ) e . 令 f ' ( x ) =0 , 可得 x=a-1. 当 x<a-1 时,
1-lnx

f
f ' ( x ) <0 , 当x>a-1时, ' ( x ) >0 , 即 f x ) 在( -∞ , 8.ACD 函 数 的 导 数 f ' ( x ) = x 2 ( x>0 ), 令
(
a-1 ) 上单调递减, 在( a-1 , +∞ ) 上单调递增, 所以函数 f ' ( x ) =0得x=e , 则当 0<x<e时, ' ( x ) >0 , 函数为
f
y= f x ) 在x=a-1处取得极小值. 若函数 y= f x ) 在 增函数, 当x>e时, ' ( x ) <0 , 函数 f x ) 为减函数, 则当
(
(
(
f
( 0 , +∞ ) 上有极值, 则a-1>0 , 所以a>1. 因为a>1⇒
1
()
a>0 , 但是由a>0 推不出a>1 , 因此“ a>0 ” 是“ 函数 x=e时, 函数取得极大值, 极大值为 f e = e , 故 A 正
x
f x ) = ( x-a ) e 在( 0 , +∞ ) 上有极值” 的必要不充分 确. 由 f x ) =0 , 得 lnx=0 , 得x=1 , 即函数 f x ) 只有一

(
(
(

条件. ln2 2ln2 ln4
(
个零点, 故 B 错误. 因为 f 2 ) = = = =
2 4 4
2
f
4.A 因为a 为正实数, ' ( x ) =3x -12ax=3x ( x-

( () ()
4a ), 所以当x∈ ( a , 4a ) 时, ' ( x ) <0 , ( x )单调递减, f 4
(), 由x>e时, 函数 f x ) 为减函数知 f 3 > f π >
f
f
()
(),
(
()
()
2
2
3
(
3
则只需要 f a ) ≤0 即可, 即 a -6a +5a =5a ( 1- f 4 故 f 2 < f π < f 3 成立, 故 C正确. 若 f x ) <

a ) ≤0 , 解得a≥1. 1 lnx 1
k- 在( 0 , +∞ ) 上恒成立, 则k> + , 设h ( x ) =
x x x
-x
-x
(
(
5.A f x ) 的定义域为 R , 且 f -x ) =-xe - -x = lnx 1 lnx
e + ( x>0 ), 则 h' ( x ) =- , 当 0<x<1 时,
x x x 2
x
x
(
(
xe - x =f x ), 所以 f x ) 为偶函数. 当 x>0 时, h' ( x ) >0 , h ( x ) 单调递增, 当x>1时, h' ( x ) <0 , h ( x ) 单
e
调递减, 即当x=1时, 函数h ( x ) 取得极大值同时也是最
2x
1-x ( x+1 ) e +x-1
x
f ' ( x ) = ( x +1 ) e - x = x >
e e 大值h ( 1 ) =1 , 所以k>1 , 故 D 正确.
1+0-1 1
(
(
, 所以 f x ) 在( 0 , +∞ ) 为增函数. 又0=lo g 3 1< 9. 已知 f x ) =sinx+acosx , 则 f ' ( x ) =cosx-
x
e 3

)
, 所 以 f ' ( x 0 =cosx 0 -
lo g 3 2<lo g 3 e<lo g 3 3=1 , ln3>lne=1 , 所 以 ln3> asinx. 因 为 极 值 点 为 x 0
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