Page 31 - 高中数学小题狂做·教材梳理

y= ( x-1 ) 为开口向上的抛物线, 对称轴
x 1 -x 8.BC 对于 A , 2
(
, 所 以 f x ) =f x ; ( -x ) = 2 =
f
1+x 2 1+ ( -x ) 为直线x=1 , 所以 y= ( x-1 ) 在区间( 0 , 1 ) 上单调递减,
2
x 1
(
- 2 =- f x ) . 故 A 错误; 对于 B , 的定义域为( -∞ , 1 ) ∪ ( 1 ,
y=
1+x 1-x

()
(
9.3 函数 f x ) =ax+1 , 且 f 2 =-1 , 可得 2a+1= 1
+∞ ), 将 y=- 的图象向右平移1个单位长度可得 y=
x
(
f
-1 , 解得a=-1. 则函数 f x ) =-x+1 , ( -2 ) =-1×
( -2 ) +1=3. 1 1 1 在( -∞ , 0 ) 上单调递增, 所
- = , 因为 y=-
10. [ -4 , 2 ] 当 x≤0 时, 不等式 f x ) ≥-1 可以化为 x-1 1-x x

(
1 1
1 以 y= 在( -∞ , 1 ) 上单调递增, 所以 y= 在区间
x+1≥-1 , 解得x≥-4 , 此时-4≤x≤0 ; 当x>0时, 1-x 1-x
2
( 0 , 1 ) 上单调递增, 故 B 正确; 对于 C ,
y=1-|x-1|=
2
(
不等式 f x ) ≥-1 可以化为 - ( x-1 ) ≥-1 , 解得 0<
2-x , x≥1 ,
x≤2. 综上, 不等式 f x ) ≥-1的解集为[ -4 , 2 ] . 所以 y=1- x-1 在区间( 0 , 1 ) 上单调递
(
1 1 x , x<1 ,
2
2
(
11. f x ) = x + x 设 f x ) =ax +bx+c ( a≠0 ), 1 |x| 1 t
(
2 2 增, 故 C 正确; 对于 D , -|x| = 2 是由 y= 2
y=2
2
f
()
(
由 f 0 =0 , 知c=0 , ( x ) =ax +bx. 又由 f x+1 ) =
t
1
2
(
2
f x ) +x+1 , 得a ( x+1 ) +b ( x+1 ) =ax +bx+x+1 , 和 t=|x| 复合而成, 因为 y= 2 单调递减, t=|x|=
即ax + ( 2a+b ) x+a+b=ax + ( b+1 ) x+1 , 所以
2
2
x , x≥0 ,
2a+b=b+1 , 1 , 所以 f x ) = x + x. 在区间( 0 , 1 ) 上单调递增, 所以 y=2 -|x| =
1
1
解得a=b= 2 ( 2 2 2 -x , x<0
a+b=1 ,
|x|
1
基础小练7 函数的基本性质 2 在区间( 0 , 1 ) 上单调递减, 故 D 错误.

y≤0 ; 选项 C中, ≠ 0 ; 选项 D 中,
1.B 选项 A 中, y y≤0 ; k k
9. ( -∞ , 40 ] ∪ [ 80 , +∞ ) 由题意得 ≤5或 ≥10 , 解
y<0.
只有选项 B中, 8 8

x
2.D 因为 f x ) 是奇函数, 当x≥0时, ( x ) =e -1 , 所 得k≤40或k≥80 , 故k 的取值范围是( -∞ , 40 ] ∪ [ 80 ,
(
f
-x
以当x<0时, -x>0 , ( x ) =- f -x ) =-e +1. +∞ ) .
(
f
10.-x +1 ( 答案不唯一) 因为函数 f x ) 是偶函数, 且
(
2
(
(
3.D 因为 f x ) 是实数集上的偶函数, 所以 f -2 ) =
(
2
()又因为 f x ) 在区间[ 0 , +∞ ) 上单
(), (
f 2 f -π ) = f π . ( 值域为( -∞ , 1 ], 不妨取 f x ) =-x +1 , 此函数的对称
2
(
调递增, 并且 π>3>2 , 所以 f π >f 3 ) >f 2 ), 所以 轴为 y 轴, 该函数为偶函数, 且 f x ) =-x +1≤1 , 即函
(
()
(
数 f x ) =-x +1的值域为( -∞ , 1 ] . ( 答案不唯一)
2
(
(
()
(
f -π ) > f 3 > f -2 ), 结合选项知 D 正确.
1

方法突破 若 f x ) 是定义在 D 上的偶函数, 则在 D 上必有 11. 0 因为 fx =ax +bx+3a+b 是偶函数, 且定义
(
2
()
3

f x ) = f -x ) .
(
(
1
域为 [ a-1 , 2a ], 所 以 a-1+2a=0 , 解 得 a=
. 又
(
(
4.C 因为函数 y= f x ) 在 R 上单调递增, 且 f 2m ) > 3
2
2
f -m+9 ), 所以2m>-m+9 , 即 m>3. f -x ) = fx 即ax -bx+3a+b=ax +bx+3a+b , 所以
(
(
(),
5.A 因为函数 f x ) 是周期为2的周期函数, 所以2k 为 1

(
b=0. 故a= , b=0.
(
(
(
(
f x ) 的周期, 即 f x+2k ) = f x ), k∈Z , 所以 f 7 ) = 3
f 1+6 ) = f 1 =1 =1. 12. 规范解答 ( 1 ) 解: 当m=1时, ( x ) =x+ 1 , 定义域
2
()

(
f

6.C 函数 f x ) =x +2 ( a-1 ) x+2的图象的对称轴为 x
2
(
1
f
2 ( a-1 ) 为{ x|x≠ 0 }, 关于原点对称, ( -x ) =-x- x
=- x+
2
(
x=- =1-a. 因为函数 f x ) =x +2 ( a-1 ) x+
2
1
2在区间( -∞ , 4 ] 上单调递减, 所以1-a≥4 , 得a≤-3 , x =- f x ), 所以 f x ) 是奇函数.
(
(
所以实数a 的取值范围是( -∞ , -3 ] .
1
f

方法突破 一元二次函数 f x ) =ax +bx+c 的单调性与开口 ( 2 )单调递减. 证明: 当 m=0 时, ( x ) = x , 取 0<x 1<
2
(

方向和对称轴相关. 1 1 x 2-x 1
, ( )
( )
x 2 f x 1 -f x 2 = - = . 因为 x 1 x 2>0 ,
7.AB 由函数单调性的定义可知, 若函数 y= f x ) 在给 x 1 x 2 x 1 x 2

(
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 所
( ) 异号,x 2-x 1>0 , 所以 f x 1 - f x 2 >0 , 即 f x 1 > f x 2
定的区间上单调递减, 则x 1-x 2 与 f x 1 - f x 2
(
, 的大 以 f x ) 在( 0 , +∞ ) 上单调递减.
由此可知, 选项 A , B正确; 对于选项 C , D , 因为x 1 x 2

( ) 的大小关系也无法 方法突破 利用定义证明函数单调性的方法
小关系无法判断, 所以 f x 1
( ) 与 f x 2
判断, 故 C , D 不正确. ( 1 ) 取值: 设x 1 x 2 是所给区间上的任意两个值, 且x 1<x 2 ;
,
6