Page 26 - 高中数学小题狂做·教材梳理

典题讲评与答案详析

基础小练1 集合的概念与运算 充分条件.

方法突破 对于定量的充分、 必要条件判定, 常用集合法: 若
1.D 由题意可得 A∩B= { 0 } .

2
2.B 由题知 N= { x|x +x=0 } = { -1 , 0 }, 故 N⫋M. A⊆B , 则A 是 B 的充分条件( 简称小范围⇒大范围) 或B 是A 的
3.C 思路分析 a ∈P 说明 a =a 或者 a =1 , 分类讨论, 注 必要条件; 若 A=B , 则 A 是B 的充要条件.

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2
2

3.A 因为甲是乙的必要条件, 所以乙 ⇒ 甲. 又丙是乙的
意互异性.
充分不必要条件, 丙 ⇒ 乙且乙 ⇒ 丙, 所以丙 ⇒ 乙 ⇒ 甲, 但
/
2
若a =1 , 则a=±1 , a=1时不符合集合的互异性, 舍去;
/
甲⇒丙. 因此丙是甲的充分不必要条件.
若a =a , 则a=1 ( 舍去) 或a=0 , 所以a 可取-1 , 0.
2
4.D 命题“ 所有能被2整除的数都是偶数” 是一个全称量

4.B A= { x∈N |x-5<0 } = { 1 , 2 , 3 , 4 }, 所以集合 A
*
词命题, 其否定是一个存在量词命题, 故排除 A , B ; 易得命
中的元素有4个.
题“ 所有能被2整除的数都是偶数” 的否定应为“ 存在一个
a+1=2 ,
5.D 由题意, A∩B= { 2 }, 得 解得a=1 , b= 能被2整除的整数不是偶数” .

b=2 ,

5.B 因为存在量词命题的否定是全称量词命题, 所以命
2 , 所以 A∪B= { 1 , 2 , 5 } .
题“ ∃x 0∈R , 使得x 0 +2x 0+5=0 ” 的否定是“ ∀x∈R , 都
2

2
6.D A= { x|x -8x+15=0 } = { 3 , 5 } . 因为 A∩B=B ,
2
有x +2x+5 ≠ 0 ” .
所以B⊆A. 因此 B=⌀ ,{ 3 },{ 5 }, 对应实数a 的值为0 ,

方法突破 存在量词命题与全称量词命题互为否定.
1 1
3
, , 其组成的集合的子集个数是2 =8.
3 5 6.C 对于 A , : 3x+2>5 , 可得x>1 ,: -2x-3>-5 ,
q
p

7.ACD 因为 A= { x|0<x<2 }, B= { x|x≤0 }, 所以 可得x<1 , 则 p 推不出 qq 推不出 p p 是 q 的既不充分
,
,
∁ R B= { x|x>0 }, 因此1∈A , A 正确; A∩B=⌀ , B错误; 也不必要条件. 对于 B , : a>2 , b<2 , 可得 q a>b ; 当
:
p
A⊆ ( ∁ R B ), C正确; A∪B= { x|x<2 }, D 正确. a=1 , b=0时, 满足a>b , 但 q 推不出 p 故 p 是 q 的充分
,

方法突破 利用集合运算的常用性质: ∁ U A∪B ) = ( ∁ U A ) ∩ 不必要条件. 对于 C , 若“ 两条对角线互相垂直平分” 成立推
(

( ∁ U B ), ∁ U A∩B ) = ( ∁ U A ) ∪ ( ∁ U B ), 对集合运算进行等价 不出“ 四边形是正方形”; 反之, 若“ 四边形是正方形” 成立
(
转换. 可以推出“ 两条对角线互相垂直平分” 成立, 故 p 是 q 的必
8.AD 因为集合 A= { 2 , 3 , 4 }, 集合 A∪B= { 1 , 2 , 3 , 4 , 要不充分条件. 对于 D , 因为两个三角形全等可推出两个三

5 }, 所以集合 B 中必有元素1和5 , 且有元素 2 , 3 , 4 中的 角形面积相等, 但两个三角形面积相等推不出两个三角形
0个, 1个, 2个或3个都可以. 全等, 所以 p 是 q 的充分不必要条件.
否定一个命题举反例即可.

方法突破

⌀ ,{ 0 },{ 1 },{ 2 },{ 0 , 1 },{ 0 , 2 },{ 1 , 2 },{ 0 , 1 , 2 }, 共8个, 除 7.BC 若方程ax +4x+3=0 ( a≠ 0 ) 有一个正根和一个

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去{ 0 , 1 , 2 }, 则真子集有7个.
Δ=16-12a>0 ,
10.3或0 由 A∪B=A , 得 B⊆A. 因此3=m 或 m = 负根, 则 a 3 解得a<0 , 则充分不必要条件

m , 且 m≠ 1 , 解得 m=3或 m=0. <0 ,

方法突破 A∩B=A⇔A⊆B , A∪B=A⇔B⊆A. 应为( -∞ , 0 ) 的真子集.

2
2
8.AB 对于 A , a>1⇒a >1 , 但a >1⇒a>1或a<-1 ,
11. { x|2<x<10 } { x|2<x<3 } 因为 A= { x|3≤x<
故 A 正确; 对于 B , 当 M >N >0 时有 l gM >l gN , 而
10 }, B= { x|1<3x-5<16 } = { x|2<x<7 }, 所以 A∪
l gM>l gN 必有 M>N>0 , 故 B 正确; 对于 C , 否定命题
B= { x|2<x<10 }, ∁ R A = { x|x<3 或 x≥10 }, 所以
2
f
)
为“ ∃x∈R , 使得x +1≥0 ”, 故 C错误; 对于 D , ' ( x 0 =
( ∁ R A ) ∩B= { x|2<x<3 } .
( 处取得极值, 而 f x ) 在x=x 0
(

方法突破 求集合的交、 并、 补集时, 应先对集合进行化简或计 0不一定有 f x ) 在x=x 0
处取得极值, 必有 f ' ( x 0 =0 , 故 D 错误.
)

算. 若涉及不等关系的连续问题, 通常借助数轴来完成; 若涉及离
9.∃x 0∈R , x 0 ≤0 该命题的否定需将全称量词改为存
2
散的数集问题, 可利用韦恩图解决.
在量词, 同时否定结论.
基础小练2 常用逻辑用语
10. ( -∞ , 5 ) 因为 A= { x|x>5 }, B= { x|x>a }, 依题

1.A 根据存在量词命题的否定是全称量词命题, 命题 意可知 A⫋B , 如图所示, 由图可知a<5.
“ 存在无理数 m , 使得 m 是有理数” 的否定为“ 任意一个无
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理数 m , m 都不是有理数” .
2
2.B 因为{ x|x>1 } ⫌ { x|x≥2 }, 所以 p 是 q 的必要不

9.8 7 由子集的定义可知集合 M = { 0 , 1 , 2 } 的子集有
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