Page 28 - 高中数学小题狂做·教材梳理

2 2 , 2 2
3.D 因为x + y ≥2x y 所以2x y≤x + y =1 , 得x y≤ 1
5-4x= , 即x=1时取等号, 故C错误; 对于选项 D ,
5-4x
1 2
, 当且仅当x= y= 时, 等号成立.
2 2 因为 x >0 , >0 ,且 x +y =2 ,所 以 1 + 4 =
y
x y
y=x +2x+4= ( x+1 ) +3≥3 , 当且仅当
4.C 对于 A , 2 2
x=-1时取等号, 所以其最小值为3 , A 不符合题意; 对于 1 1 + 4 · ( x + y ) = 1 y + 4x + 5 ≥
2 x y 2 x y
4
B , 因为0<|sinx|≤1 , ≥2 4=4 , 当
y=|sinx|+
|sinx| 1 y 4x 9 , 当且仅当 y 4x 2 ,
·
+5 =
且仅当 |sinx|=2时取等号, 等号取不到, 所以其最小值不 2 2 x y 2 x = y , 即 x= 3

x
为4 , B不符合题意; 对于 C , 因为函数定义域为 R , 而2 > 4
y= 时, 等号成立, 故 D 正确.
3
4
x
x
0 , x 2-x =2 + x ≥2 4=4 , 当且仅当2 =2 2-x , 即
y=2 +2
2 8.BCD 不等式a+b≥2 ab恒成立的条件是 a≥0 , b≥
x=1时取等号, 所以其最小值为 4 , C 符合题意; 对于 D , 1
0 , 故 A 错误; 当a 为负数时, 不等式a+ ≤2成立, 故 B
4 a
y=lnx+ , 函数定义域为( 0 , 1 ) ∪ ( 1 , +∞ ), 而lnx∈
lnx 正确; 由基本不等式可知 C 正确; 因为 x , 为正实数, 且
y

y=-5 , D 不符合题意.
R且lnx≠ 0 , 当lnx=-1时, 2
1 1 x+2 y 1
x+2 y=1 , 所以0<x y= x×2 y≤ = ×
5.B 若每批生产x 件产品, 则每件产品的生产准备费用 2 2 2 2
是 800 ,存 储 费 用 是 x ,总 的 费 用 是 800 + x ≥ 1 1 , 当且仅当x=2 y 即x= 1 , 1 时, 等号成立,
,
x 8 x 8 4 = 8 2 y= 4
800 x 800 x 故 D 正确.
2 · =20 , 当且仅当 = 时取等号, 即x=80.
x 8 x 8
9.23-1 解法1 ( 换元法) 由x>-1 , 可得x+1>

6.D 解法1 由ab=2a+b 得 2 + 1 =1 , 则 a+b= x +x+3
2
b a 0 , 令 t=x +1 ( t>0 ), 即 x =t-1 , 则 =
x+1
2 1 2a b 2a
( a+b ) + = + +3≥2 2+3 , 当且仅当 2
b a b a b = ( t-1 ) + ( t-1 ) +3 =t+ 3 -1≥2 t · 3 -1=2 3-
t t t
b
, 即b= 2a , a= 2+1时, a+b 的最小值为22+3.
a 1 , 当且仅当t= 3 , 即x= 3-1 时, 等号成立, 所以 y=
2
2a 2 x +x+3
解法2 由ab=2a+b , 得b= =2+ , a+b=a+ 的最小值为23-1.
a-1 a-1 x+1
2 2 解法2 ( 分 离 常 数 法 ) 由 题 知 x +1>0 , 故 y =
2+ =a-1+ +3≥2 2+3 , 当且仅当a-1=
a-1 a-1 2 2
x +x+3 ( x+1 ) - ( x+1 ) +3 3
= =x+1+ -1≥23-
2 x+1 x+1 x+1
, 即a= 2+1时等号成立.
a-1
3 , 即x= 3-1时, 等号成立, 所以

方法突破 求等式条件下的代数式的最值的方法 1 , 当且仅当x+1= x+1

2
① “ 1 ” 的替换法: 由已知等式, 变形确定出常数“ 1 ”, 再把“ 1 ” 的表 x +x+3
y= 的最小值为23-1.
达式与所求表达式相乘( 除), 转化为和定( 积定) 的形式. x+1
②消元法: 用其中一个元素表示另一个元素, 通过消元, 变形为和 9 a+b 2
10. 因为a>0 , b>0 , a+b=1 , 所以ab≤ 2 =
定( 积定) 的形式. 4
1 9
1 , 当且
7.AD 对于选项 A , 当 x>0 时, x >0 , x + ≥ 4 , 所以( a+1 )( b+1 ) =ab+a+b+1=ab+2≤ 4
x
1 9
1 仅当a=b= 时等号成立,( a+1 )( b+1 ) 的最大值为 .
2 x× =2 , 当且仅当x=1时取等号, 结论成立, 故 2 4
x
b-1 b-1
11.9 由ab-b+1=0 , 得a= . 由a= >0 , b>
1 1 b b
A 正确; 对于选项 B , 当x>2时, x+ ≥2 x · =2 ,
x x
0 , 得b>1 , 所以 1 +4b= b +4b= 1 +4 ( b-1 ) +5 ,
当且仅当x=1时取等号, 但x>2 , 等号取不到, 因此x+ a b-1 b-1
1 5
的最小值不是2 , 故 B错误; 对于选项 C , 因为x< , 所 1 1 1
x 4 则 +4 ( b-1 ) ≥2 · 4 ( b-1 ) =4 , 所 以 +
b-1 b-1 a
1
4x-5 4b≥9 , 当且仅当 =4 ( b-1 ), 即b= , a= 时等号
以5-4x>0 , 则 y =4x -2+ = - 5-4x + 1 3 1
b-1 2 3
1 1 1
5-4x +3≤-2× ( 5-4x ) × 5-4x +3=1 , 当且仅当 成立, 故 a +4b 的最小值为9.
3