Page 27 - 高中数学小题狂做·教材梳理

方法突破 判断充分条件和必要条件的方法( 集合判断法) 1
解法2 取b=-2 , a=-1 , 则 |b|>|a| , 知 ① 错误; +

a
(
,
从集合的观点看, 建立 pq 相应的集合A= { x| p x ) 成立}, B=
1 3 1 1 3
(
{ x| qx ) 成立}, 那么: ①若 A⊆B , 则 p 是 q 的充分条件; 若 A⫋ =- <0 , 知②错误; +b=-3 , +a=- , 知③
b 2 a b 2
B 时, 则 p 是 q 的充分不必要条件.②若 B⊆A , 则 p 是 q 的必要
a 2 1
条件; 若B⫋A 时, 则 p 是 q 的必要不充分条件.③ 若 A⊆B 且 正确; =- , 2a-b=0 , 知④正确.
b 2
B⊆A , 即 A=B 时, 则 p 是 q 的充要条件.
7.BCD 当c=0时, 若a>b , 则ac=bc , 故 A 为假命题;

11. [ 0 , +∞ ) 已知命题 p ∃x 0∈R , x 0 -m≤0 ” 为真命 若ac >bc , 则c≠0 , c >0 , 故a>b , 故 B 为真命题; 若
2
:“
2
2
2
2
a<b<0 , 则a >ab 且 ab>b , 即a >ab>b , 故 C为真命
2
2
2
2

范围为[ 0 , +∞ ) . c c c-a c-b a
题; 若c>a>b>0 , 则 < , 则 < , 则 >
基础小练3 等式性质与不等式性质 a b a b c-a
b
1.D 对于 A , 由等式的性质知, 若x= y 则x+5= y+5 , , 故 D 为真命题.
,
c-b
A 正确; 对于 B , 由等式的性质知, 若a=b , 则ac=bc , B正
1 1 等价于 1 1 b-a
a b 8.ABD < - = <0 , 当a>b , ab>0
确; 对于 C , 由等式的性质知, 若 = , 则a=b , C 正确; a b a b ab
c c
1 1
对于 D , 由等式的性质知, 若ax=a y 则x= y 的前提条件 时, < b 成立, 故 B , D 正确; 又正数大于负数, A 正确, C
,
a
为 a≠ 0 , D 错误. 错误.

2.C 因为b<0 , 所以-b>0 , 即-b>b. 又a+b>0 , 所 9. 变好了 设窗户面积为a , 地板面积为b , 增加相等的一

以a>-b , b>-a. 综上, a>-b>b>-a. a a+c
个面积数为c ( c>0 ) . 因为 , 所以采光条件变
<
2 2 4 2 b b+c
3.A 解法1 运用作差法, 易知( x +1 ) -x -x -
4 2 4 2 2 2 2 4 好了.
1=x +2x +1-x -x -1=x ≥0 , 即( x +1 ) ≥x +
x +1. 10. ( -4 , 2 ) ( 1 , 18 ) 因为 -1<x<4 , 2< y<3 , 所以
2
解法2 ( 特殊值法) 令x=0 , 可排除 B , D ; 再令x=1 , 可 -3<- y<-2 , -4<x- y<2. 由-1<x<4 , 2< y<3 ,

排除 C. 得-3<3x<12 , 4<2 y<6 , 所以1<3x+2 y<18.

方法突破 比较大小的方法 11.a+d>b+c 设 a = c =k , 依题意可知d>0 , k>1 ,

b d

( 1 )作差法: 作差, 变形, 定正负, 结论;
且c>d , b>d , 则( a+d ) - ( b+c ) =bk+d-b-kd=

( 2 )作商法: 作商, 变形, 与1比大小, 结论;
( b-d )( k-1 ) >0 , 所以a+d>b+c.

( 3 )特殊值法: 主观题取特殊值判断, 客观题可以取特殊值探路.
基础小练4 基本不等式及其应用

4.C 由题意,若 a>0>b , 则 1 > 1 , 故 A 错误; 若

a b 1 1 1
1.D 因为a>0 , b>0 , 且a+2b=1 , 所以 a + b a +
=
a=1 , b=-2 , 则a <b , 故 B错误; 因为a>b , 且 1 >0 ,
2
2
2
c +1 1 2b a 2b a
b ( a+2b ) =3+ + ≥3+2 2 , 当且仅当 = , 即
a b a b a b
所以 > 2 , 故 C正确; 若c=0 , 则a|c|=b|c| , 故
2
c +1 c +1
2- 2
D 错误. a= 2-1 , b= 2 时等号成立.

π π π π 方法突破 基本不等式中常利用“ 1 ” 的代换, 其本质思想是实现
5.B 因为0<α< , 0< β < , 所以- <α- β < . 又
2 2 2 2
齐次化, 不等式齐次化是使不等式中所有变量的次数一致的代数
π
α< β , 所以 α- β <0 , 所以- <α- β <0. 1 1
2 变形. “ 1 ” 的代换常见类型有: ①已知a+b=1 , 求 + ; ②已知
a b

6.B 解法1 对于① , 因为b<a<0 , 所以 |b|>|a| , 所以
1 1 1
+ b =1 , 求a+b ; ③已知a+b=c ( 常数), 即 c ( a+b ) =1 , 求
a
1 a+b
①错误; 对于② , 因为 1 + = , 由b<a<0 , 知ab>
a b ab 1 1 1 1 1 1 1
+ b ; ④已知 a + b =c ( 常数), 即 c a + b =1 , 求a+b ;
a
0 , a+b<0 , 所以 1 + 1 a+b <0 , 所以②错误; 对于③ ,
=
a b ab 1 1 1 1
⑤ + 可变形为 m + 1-m [ m+ ( 1-m )] .
m 1-m
由b<a<0 , 得 1 < 1 <0 , 所以 1 +b<a+ 1 , 所以 ③ 正
a b a b a
2.C 因为 y=4x+ x ≥4 a ( x>0 , a>0 ), 当且仅当
a 2 a -2ab+b 2 ( a-b )
2
2
确; 对于④ , -2a+b= = <0 , 所以
b b b a a
2
4x =a , 即 x= 时, 等号成 立. 由 题 意, =2 , 解 得
a 2 2 2
b <2a-b , 所以④正确. 综上所述, 正确的不等式有2个. a=16.
题, 即存在实数x , 使得 m≥x 成立, 所以实数 m 的取值
2