Page 32 - 高中数学小题狂做·教材梳理

( )
( 2 ) 作差变形: 即作差 f x 1 - f x 2 1
2
x∈ ( 0 , 1 ) 时, ( x ) =2x +1 , 所 以 f =2 , 所 以
f
理化等方法, 向有利于判断符号的方向变形;
( 3 ) 定号: 确定差 f x 1 - f x 2 的符号; 2021
( )
( )
f 2 =2.
( 4 ) 下结论: 判断, 根据定义得出结论.
即取值→作差→变形→定号→下结论. (
6.D 因为函数 f x ) 在 R 上单调递减, 所以当x≤1时,

13. 规范解答 ( 1 )证明: 令-1≤x 1<x 2≤1 , 则 fx 单调递减, 即 a-3<0 , a<3 ; 当x>1时,( x ) 单调递减,
f
()
( 2 ) ( 2 )
x 1 x 2 x 11+x 2 -x 21+x 1 2a
( ) ( )
fx 1 - fx 2 = 2 - 2 = 即 a>0. 又由( a-3 ) ×1+5≥ , 解得a≤2. 综上, 可知实数
2
)( 2 ) 1
1+x 1 1+x 2 ( 1+x 1 1+x 2
) 2 2 )( ) a 的取值范围是( 0 , 2 ] .
( x 1-x 2 + ( x 1 x 2 -x 1 x 2 ) ( x 1-x 2 1-x 1 x 2
= = , 由 -1≤
2 )( 2 ) 2 )( 2 )
( 1+x 1 1+x 2 ( 1+x 1 1+x 2 7.BC 根据偶函数在[ -3 , 0 ] 上的图象及其对称性, 作出
2
2 )( 1+x 2 >0 , 1-x 1 x 2>0 , x 1- 其在[ -3 , 3 ] 上的图象, 如图所示. 由图象可知这个函数有
)
x 1<x 2≤1 得( 1+x 1
x 2<0 , 则 f x 1 -f x 2 <0 , 故函数 y=f x ) 在区间 三个单调增区间, 有三个单调减区间, 在其定义域内有最
( )
( )
(
[ -1 , 1 ] 上单调递增. 大值2 , 最 小 值 0 , 即 函 数 的 值 域 为 [ 0 , 2 ], 且 f 2 ) =
(

(
1-x<x ,
(
f -2 ) < f -1 ) =2.

( 2 )解: 由( 1 ) 结论, 及 f 1-x ) < f x ) 知 -1≤1-x≤1 ,
(
(

-1≤x≤1 ,

解得 1 <x≤1. 因此, 不等式 f 1-x ) < f x ) 的解集为
(
(
2
1

x 2 <x≤1 .

(

(
(
(
易错警示 解抽象不等式时, 不要忽视定义域对抽象不等式内 8.BCD 由 f 1-x ) = f 1+x ), 得 f x ) = f2-x ), 因为

(
(
(
(
fx ) 是奇函数, 所以 f x ) =- f -x ), 则 -f -x ) =
层函数的限制.
f 2-x ), ( 4-x ) =- f 2-x ) = f -x ), 所以 f x ) 的
(
f
(
(
(
本章检测 函数的概念与性质
最小正周期 T=4 , 故 A 错误; 当-1<x<0时, 因为 f x )
(

1.B 依题意函数 f x ) 的图象关于直线x=-2对称, 所
(
是奇函数, 所以 f x ) =- f -x ) =- ( -2x ) =2x , 因为
(
(
m
以 =-2 , 即 m=-8 , 所以 f x ) =2x +8x+3 , ( 1 ) = 定义域为 R的函数 f x ) 是奇函数, 所以 f 0 =0 , 因此当
2
(
(
()
f
4
f
(
-1<x≤1时, ( x ) =2x , 故 B正确; 因为 f x ) 周期为4 ,
2+8+3=13.
所以 f x ) 在[ 11 , 13 ] 上单调性与 f x ) 在[ -1 , 1 ] 上单调
(
(
1
(
2.A 函数 f x ) = 在[ 2 , 3 ] 上单调递减, 所以最大值为 性相同, 因为当 -1<x≤1时, ( x ) =2x 单调递增, 所以
x f
(
(
1 f x ) 在[ 11 , 13 ] 上单调递增, 故 C 正确; 因为 f x ) 在区间
()
f 2 = .
2 [ -1 , 1 ] 上是单调递增的, 所以 f x ) 在x=-1处取得最
(

3.B 因 为 f x ) 是 奇 函 数, ( x ) 是 偶 函 数, 所 以 小值-2 , 在x=1处取得最大值2 , 又 f x ) 是周期函数, 所
(
g
(
f -x ) = - f x ), ( -x ) =g x ), 由 f -x )· 以 f x ) 在 R上的最大值为2 , 最小值为-2 , 故 D 正确.
(
(
(
g
(
(
g -x ) =- f x )· ( x ), 故 f x )· ( x ) 是奇函数, ①正
g
g
(
(
(
(
lo g 2 1-x ), x<0 , 所 以
(
(
确; 由 | f -x ) | · ( -x ) =| f x ) | · ( x ), 故 | f x ) | · 9.-3 因 为 函 数 f x ) = g x ) +1 , x>0 ,
g
(
(
g
(
(
(
(
g x ) 为 偶 函 数, ② 正 确; 由 f -x )· | g -x ) |= f -3 ) =2. 又因为 f x ) 是奇函数, 所以 f 3 =-2. 又
()
(
(
- f x )· | g x ) | , 故 f x )· | g x ) | 是奇函数, ③ 错误;
(
(
(
(
()
()
f 3 = g 3 +1 , 所以 g 3 =-3.
()
g
g
(
(
(
g
由 | f -x )· ( -x ) |=| f x )· ( x ) | , 故 | f x )· ( x ) |
(
f
10.±1 当a≥0时,( a ) = a , 则 a+ f -1 ) = a+1=
为偶函数, ④错误.
f
2 , 解 得 a=1 ; 当 a<0 时, ( a ) = -a , 则 -a +
4.D 因为 f x ) 是定义在 R上的奇函数, 所以 f 0 =0.
(
()
(
当x>0时, ( x ) =x -2x , 若 f x ) <0 , 则0<x<2 , 若 f -1 ) = -a+1=2 , 解得a=-1. 综上, a=±1.
(
f
2
5 3
f x ) >0 , 则x>2. 由 f x ) 是定义在 R上的奇函数知, 其 11.7 解法1 因 为 f 2 ) =2 +2 · a+2 · b+2 ,
(
(
(
5
3
()
(
图象关于原点成中心对称, 所以当x<-2时, ( x ) <0 ,f -2 ) = ( -2 ) + ( -2 )· a+ ( -2 )· b+2 , 所以 f 2 +
f
()
(
当 -2<x<0 时, ( x ) >0. 因 此 关 于 x 的 不 等 式 f -2 ) =4 , 所以 f -2 ) =4- f 2 =7.
(
f
5
5
3
(
(
f x ) <0的解集为( -∞ , -2 ) ∪ ( 0 , 2 ) . 解法2 由 f x ) =x +ax +bx+2 , 得 f x ) -2=x +
(
3
(
5.B 因为函数 y= f x ) 是以 3 为周期的偶函数, 所以 ax +bx. 设F ( x ) = f x ) -2 , 则 F ( x ) 为奇函数, F ( -2 ) =
(
()
(
(
2021 1 1 1 -F ( 2 ), 即 f -2 ) -2= - f 2 +2 , 所 以 f -2 ) =
f 2 2 2 2 . 又当 - f 2 +4=7.
=f
= f 3×337-
=f -
()
( ), 并通过因式分解、 配方、 有
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